Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^4/(x^3+1)
- x^3/3+x^2-15*x
- -2/(x+3)
-
x-20
-
Идентичные выражения
- (восемь *x- четыре)/(x^ два + восемнадцать *x+ восемьдесят один)
- (8 умножить на x минус 4) делить на (x в квадрате плюс 18 умножить на x плюс 81)
- (восемь умножить на x минус четыре) делить на (x в степени два плюс восемнадцать умножить на x плюс восемьдесят один)
- (8*x-4)/(x2+18*x+81)
- 8*x-4/x2+18*x+81
- (8*x-4)/(x²+18*x+81)
- (8*x-4)/(x в степени 2+18*x+81)
- (8x-4)/(x^2+18x+81)
- (8x-4)/(x2+18x+81)
- 8x-4/x2+18x+81
- 8x-4/x^2+18x+81
- (8*x-4) разделить на (x^2+18*x+81)
-
Похожие выражения
- (8*x-4)/(x^2-18*x+81)
- (8*x-4)/(x^2+18*x-81)
- (8*x+4)/(x^2+18*x+81)
График функции y = (8*x-4)/(x^2+18*x+81)
Решение
Вы ввели
[src]
8*x - 4
f(x) = --------------
2
x + 18*x + 81
$$f{\left(x \right)} = \frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81}$$
f = (8*x - 1*4)/(x^2 + 18*x + 81)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{1} = -9$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.5$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.5$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x - 18\right) \left(8 x - 4\right)}{\left(x^{2} + 18 x + 81\right)^{2}} + \frac{8}{x^{2} + 18 x + 81} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 10$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 10$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 10\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[10, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x - 18\right) \left(8 x - 4\right)}{\left(x^{2} + 18 x + 81\right)^{2}} + \frac{8}{x^{2} + 18 x + 81} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 10$$
Зн. экстремумы в точках:
80
(10, -1/361*4 + ---)
361 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 10$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 10\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[10, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{8 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 9\right)^{2}}{x^{2} + 18 x + 81} - 1\right) - 4 x - 36\right)}{\left(x^{2} + 18 x + 81\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{39}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -9$$
$$\lim_{x \to -9^-}\left(\frac{8 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 9\right)^{2}}{x^{2} + 18 x + 81} - 1\right) - 4 x - 36\right)}{\left(x^{2} + 18 x + 81\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -9^+}\left(\frac{8 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 9\right)^{2}}{x^{2} + 18 x + 81} - 1\right) - 4 x - 36\right)}{\left(x^{2} + 18 x + 81\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{39}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{39}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{8 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 9\right)^{2}}{x^{2} + 18 x + 81} - 1\right) - 4 x - 36\right)}{\left(x^{2} + 18 x + 81\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{39}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -9$$
$$\lim_{x \to -9^-}\left(\frac{8 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 9\right)^{2}}{x^{2} + 18 x + 81} - 1\right) - 4 x - 36\right)}{\left(x^{2} + 18 x + 81\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -9^+}\left(\frac{8 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 9\right)^{2}}{x^{2} + 18 x + 81} - 1\right) - 4 x - 36\right)}{\left(x^{2} + 18 x + 81\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{39}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{39}{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{1} = -9$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (8*x - 1*4)/(x^2 + 18*x + 81), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x - 4}{x \left(x^{2} + 18 x + 81\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x - 4}{x \left(x^{2} + 18 x + 81\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x - 4}{x \left(x^{2} + 18 x + 81\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x - 4}{x \left(x^{2} + 18 x + 81\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81} = \frac{- 8 x - 4}{x^{2} - 18 x + 81}$$
- Нет
$$\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81} = - \frac{- 8 x - 4}{x^{2} - 18 x + 81}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81} = \frac{- 8 x - 4}{x^{2} - 18 x + 81}$$
- Нет
$$\frac{8 x - 4}{x^{2} + 18 x + 81} = - \frac{- 8 x - 4}{x^{2} - 18 x + 81}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График