Господин Экзамен

График функции y = 8/x+x/2

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
       8   x
f(x) = - + -
       x   2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \frac{8}{x}$$
f = x/2 + 8/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{2} + \frac{8}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 8/x + x/2.
$$\frac{0}{2} + \frac{8}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{2} - \frac{8}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, -4)

(4, 4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-4, 4\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{16}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \frac{8}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \frac{8}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 8/x + x/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \frac{8}{x}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \frac{8}{x}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{2}$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{2} + \frac{8}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{8}{x}$$
- Нет
$$\frac{x}{2} + \frac{8}{x} = \frac{x}{2} + \frac{8}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 8/x+x/2