Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (cos(x))^2
- |x|+1
- (x^2-9)
- x+(4/x)-4
- Производная:
-
(3*x^2-4)/(x^2+2*x)
-
Идентичные выражения
- (три *x^ два - четыре)/(x^ два + два *x)
- (3 умножить на x в квадрате минус 4) делить на (x в квадрате плюс 2 умножить на x)
- (три умножить на x в степени два минус четыре) делить на (x в степени два плюс два умножить на x)
- (3*x2-4)/(x2+2*x)
- 3*x2-4/x2+2*x
- (3*x²-4)/(x²+2*x)
- (3*x в степени 2-4)/(x в степени 2+2*x)
- (3x^2-4)/(x^2+2x)
- (3x2-4)/(x2+2x)
- 3x2-4/x2+2x
- 3x^2-4/x^2+2x
- (3*x^2-4) разделить на (x^2+2*x)
-
Похожие выражения
- (3*x^2-4)/(x^2-2*x)
- (3*x^2+4)/(x^2+2*x)
График функции y = (3*x^2-4)/(x^2+2*x)
Решение
Вы ввели
[src]
2
3*x - 4
f(x) = --------
2
x + 2*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x}$$
f = (3*x^2 - 1*4)/(x^2 + 2*x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{6 x}{x^{2} + 2 x} + \frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} + 2 x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{6 x}{x^{2} + 2 x} + \frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} + 2 x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -2$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -2$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{12 \left(x + 1\right)}{x + 2} + 3 - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(3 x^{2} - 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{3}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3*x^2 - 1*4)/(x^2 + 2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4}{x \left(x^{2} + 2 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x} = \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$$
- Нет
$$\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x} = - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x} = \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$$
- Нет
$$\frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x} = - \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График