Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^4/(x^3+1)
- x^3/3+x^2-15*x
- -2/(x+3)
-
x-20
-
Идентичные выражения
- три *cos(три *x)^(два)- три *sqrt(три)*cos(три *x)-sin(три *x)^(два)+ четыре
- 3 умножить на косинус от (3 умножить на x) в степени (2) минус 3 умножить на квадратный корень из (3) умножить на косинус от (3 умножить на x) минус синус от (3 умножить на x) в степени (2) плюс 4
- три умножить на косинус от (три умножить на x) в степени (два) минус три умножить на квадратный корень из (три) умножить на косинус от (три умножить на x) минус синус от (три умножить на x) в степени (два) плюс четыре
- 3*cos(3*x)^(2)-3*√(3)*cos(3*x)-sin(3*x)^(2)+4
- 3*cos(3*x)(2)-3*sqrt(3)*cos(3*x)-sin(3*x)(2)+4
- 3*cos3*x2-3*sqrt3*cos3*x-sin3*x2+4
- 3cos(3x)^(2)-3sqrt(3)cos(3x)-sin(3x)^(2)+4
- 3cos(3x)(2)-3sqrt(3)cos(3x)-sin(3x)(2)+4
- 3cos3x2-3sqrt3cos3x-sin3x2+4
- 3cos3x^2-3sqrt3cos3x-sin3x^2+4
-
Похожие выражения
- 3*cos(3*x)^(2)-3*sqrt(3)*cos(3*x)-sin(3*x)^(2)-4
- 3*cos(3*x)^(2)-3*sqrt(3)*cos(3*x)+sin(3*x)^(2)+4
- 3*cos(3*x)^(2)+3*sqrt(3)*cos(3*x)-sin(3*x)^(2)+4
График функции y = 3*cos(3*x)^(2)-3*sqrt(3)*cos(3*x)-sin(3*x)^(2)+4
Решение
Вы ввели
[src]
2 ___ 2 f(x) = 3*cos (3*x) - 3*\/ 3 *cos(3*x) - sin (3*x) + 4
$$f{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4$$
f = -sin(3*x)^2 + 3*cos(3*x)^2 - 3*sqrt(3)*cos(3*x) + 4
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 24 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 9 \sqrt{3} \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}\right] \cup \left[0, \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 24 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 9 \sqrt{3} \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
___ (0, - 3*\/ 3 + 7)
/ _______________\
| / ___ |
|\/ - 3*\/ 3 + 8 |
-2*atan|------------------|
| _____________ | / / _______________\\ / / _______________\\ / / _______________\\
| / ___ | | | / ___ || | | / ___ || | | / ___ ||
\ \/ 3*\/ 3 + 8 / ___ | |\/ - 3*\/ 3 + 8 || 2| |\/ - 3*\/ 3 + 8 || 2| |\/ - 3*\/ 3 + 8 ||
(----------------------------, - 3*\/ 3 *cos|2*atan|------------------|| - sin |2*atan|------------------|| + 3*cos |2*atan|------------------|| + 4)
3 | | _____________ || | | _____________ || | | _____________ ||
| | / ___ || | | / ___ || | | / ___ ||
\ \ \/ 3*\/ 3 + 8 // \ \ \/ 3*\/ 3 + 8 // \ \ \/ 3*\/ 3 + 8 // / _______________\
| / ___ |
|\/ - 3*\/ 3 + 8 |
2*atan|------------------|
| _____________ | / / _______________\\ / / _______________\\ / / _______________\\
| / ___ | | | / ___ || | | / ___ || | | / ___ ||
\ \/ 3*\/ 3 + 8 / ___ | |\/ - 3*\/ 3 + 8 || 2| |\/ - 3*\/ 3 + 8 || 2| |\/ - 3*\/ 3 + 8 ||
(--------------------------, - 3*\/ 3 *cos|2*atan|------------------|| - sin |2*atan|------------------|| + 3*cos |2*atan|------------------|| + 4)
3 | | _____________ || | | _____________ || | | _____________ ||
| | / ___ || | | / ___ || | | / ___ ||
\ \ \/ 3*\/ 3 + 8 // \ \ \/ 3*\/ 3 + 8 // \ \ \/ 3*\/ 3 + 8 // Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}\right] \cup \left[0, \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 3 \sqrt{3} + 8}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$9 \cdot \left(8 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 8 \cos^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{4} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$9 \cdot \left(8 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 8 \cos^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
$$x_{4} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7 \sqrt{11} + 24}}{\sqrt{3 \sqrt{3} + 8}} \right)}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4\right) = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 3, \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 7\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 3, \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 7\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4\right) = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 3, \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 7\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 3, \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 7\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4\right) = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 3, \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 7\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 3, \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 7\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4\right) = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 3, \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 7\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 3, \sqrt{3} \left\langle -3, 3\right\rangle + 7\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*cos(3*x)^2 - 3*sqrt(3)*cos(3*x) - sin(3*x)^2 + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4 = - \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4$$
- Да
$$- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4 = \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} - 4$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4 = - \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4$$
- Да
$$- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} + 4 = \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \sqrt{3} \cos{\left(3 x \right)} - 4$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График