Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^4/(x^3+1)
- x^3/3+x^2-15*x
- -2/(x+3)
-
x-20
-
Идентичные выражения
- tan(x/ два)*cot(x/ два)
- тангенс от (x делить на 2) умножить на котангенс от (x делить на 2)
- тангенс от (x делить на два) умножить на котангенс от (x делить на два)
- tan(x/2)cot(x/2)
- tanx/2cotx/2
- tan(x разделить на 2)*cot(x разделить на 2)
График функции y = tan(x/2)*cot(x/2)
Решение
Вы ввели
[src]
/x\ /x\
f(x) = tan|-|*cot|-|
\2/ \2/
$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
f = tan(x/2)*cot(x/2)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + \left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + \left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} - \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} - \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x/2)*cot(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График