Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-2*sin(x-pi/4)+1
-
2*x^3+3*x^2-12*x-10
-
sin(x)*cos(x)^(2)
-
log(cos(x))
- Интеграл d{x}:
- sin(x)*cos(x)^(2)
- Производная:
-
sin(x)*cos(x)^(2)
-
Идентичные выражения
- sin(x)*cos(x)^(два)
- синус от (x) умножить на косинус от (x) в степени (2)
- синус от (x) умножить на косинус от (x) в степени (два)
- sin(x)*cos(x)(2)
- sinx*cosx2
- sin(x)cos(x)^(2)
- sin(x)cos(x)(2)
- sinxcosx2
- sinxcosx^2
-
Похожие выражения
- sin(x)*(cos(x))^2
- sinx*cosx^(2)
График функции y = sin(x)*cos(x)^(2)
Решение
Вы ввели
[src]
2 f(x) = sin(x)*cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
f = sin(x)*cos(x)^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 7.85398173541774$$
$$x_{2} = -89.5353907394375$$
$$x_{3} = 45.5530936288414$$
$$x_{4} = 67.5442422018325$$
$$x_{5} = 6.28318530717959$$
$$x_{6} = -73.8274272804402$$
$$x_{7} = -67.5442421609972$$
$$x_{8} = -17.278759737384$$
$$x_{9} = -50.2654824574367$$
$$x_{10} = -92.6769836764771$$
$$x_{11} = 70.6858345559153$$
$$x_{12} = -9.42477796076938$$
$$x_{13} = -14.13716684381$$
$$x_{14} = -21.9911485751286$$
$$x_{15} = 64.4026493118058$$
$$x_{16} = -1.57079642505341$$
$$x_{17} = 78.5398163397448$$
$$x_{18} = 37.6991118430775$$
$$x_{19} = -15.707963267949$$
$$x_{20} = -51.8362786906154$$
$$x_{21} = -70.6858349962623$$
$$x_{22} = 15.707963267949$$
$$x_{23} = -23.561945003804$$
$$x_{24} = 36.1283160593477$$
$$x_{25} = 89.5353907744432$$
$$x_{26} = 29.8451303144929$$
$$x_{27} = 21.9911485751286$$
$$x_{28} = -59.6902604182061$$
$$x_{29} = 92.6769831301454$$
$$x_{30} = 94.2477796076938$$
$$x_{31} = -20.4203520921076$$
$$x_{32} = 100.530964914873$$
$$x_{33} = 87.9645943005142$$
$$x_{34} = -95.818575585294$$
$$x_{35} = 14.1371670924752$$
$$x_{36} = 34.5575191894877$$
$$x_{37} = -6.28318530717959$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = 26.7035374084741$$
$$x_{40} = -39.2699083096144$$
$$x_{41} = 50.2654824574367$$
$$x_{42} = -72.2566310325652$$
$$x_{43} = 65.9734457253857$$
$$x_{44} = -43.9822971502571$$
$$x_{45} = 81.6814089933346$$
$$x_{46} = -86.3937978155375$$
$$x_{47} = 80.1106131546315$$
$$x_{48} = -75.398223686155$$
$$x_{49} = -28.2743338823081$$
$$x_{50} = -31.4159265358979$$
$$x_{51} = 72.2566310325652$$
$$x_{52} = 95.8185760508519$$
$$x_{53} = -97.3893722612836$$
$$x_{54} = -65.9734457253857$$
$$x_{55} = 48.6946859820148$$
$$x_{56} = 56.5486677646163$$
$$x_{57} = 86.3937978909611$$
$$x_{58} = -95.8185758682892$$
$$x_{59} = 1.57079648184495$$
$$x_{60} = 23.5619450555027$$
$$x_{61} = -45.5530935824522$$
$$x_{62} = -42.4115006663339$$
$$x_{63} = -37.6991118430775$$
$$x_{64} = 42.4115007327518$$
$$x_{65} = 20.4203521537986$$
$$x_{66} = 51.8362788934209$$
$$x_{67} = 73.8274274722061$$
$$x_{68} = 12.5663706143592$$
$$x_{69} = 9.42477796076938$$
$$x_{70} = -29.8451300981866$$
$$x_{71} = -64.4026492408158$$
$$x_{72} = 7.85398164444075$$
$$x_{73} = -36.128315423197$$
$$x_{74} = -61.261056881309$$
$$x_{75} = -7.85398150264842$$
$$x_{76} = -58.1194640027517$$
$$x_{77} = -53.4070751110265$$
$$x_{78} = -94.2477796076938$$
$$x_{79} = -81.6814089933346$$
$$x_{80} = 28.2743338823081$$
$$x_{81} = 4.71238883532779$$
$$x_{82} = -83.2522054524035$$
$$x_{83} = 59.6902604182061$$
$$x_{84} = 43.9822971502571$$
$$x_{85} = -87.9645943005142$$
$$x_{86} = -80.1106125824842$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 7.85398173541774$$
$$x_{2} = -89.5353907394375$$
$$x_{3} = 45.5530936288414$$
$$x_{4} = 67.5442422018325$$
$$x_{5} = 6.28318530717959$$
$$x_{6} = -73.8274272804402$$
$$x_{7} = -67.5442421609972$$
$$x_{8} = -17.278759737384$$
$$x_{9} = -50.2654824574367$$
$$x_{10} = -92.6769836764771$$
$$x_{11} = 70.6858345559153$$
$$x_{12} = -9.42477796076938$$
$$x_{13} = -14.13716684381$$
$$x_{14} = -21.9911485751286$$
$$x_{15} = 64.4026493118058$$
$$x_{16} = -1.57079642505341$$
$$x_{17} = 78.5398163397448$$
$$x_{18} = 37.6991118430775$$
$$x_{19} = -15.707963267949$$
$$x_{20} = -51.8362786906154$$
$$x_{21} = -70.6858349962623$$
$$x_{22} = 15.707963267949$$
$$x_{23} = -23.561945003804$$
$$x_{24} = 36.1283160593477$$
$$x_{25} = 89.5353907744432$$
$$x_{26} = 29.8451303144929$$
$$x_{27} = 21.9911485751286$$
$$x_{28} = -59.6902604182061$$
$$x_{29} = 92.6769831301454$$
$$x_{30} = 94.2477796076938$$
$$x_{31} = -20.4203520921076$$
$$x_{32} = 100.530964914873$$
$$x_{33} = 87.9645943005142$$
$$x_{34} = -95.818575585294$$
$$x_{35} = 14.1371670924752$$
$$x_{36} = 34.5575191894877$$
$$x_{37} = -6.28318530717959$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = 26.7035374084741$$
$$x_{40} = -39.2699083096144$$
$$x_{41} = 50.2654824574367$$
$$x_{42} = -72.2566310325652$$
$$x_{43} = 65.9734457253857$$
$$x_{44} = -43.9822971502571$$
$$x_{45} = 81.6814089933346$$
$$x_{46} = -86.3937978155375$$
$$x_{47} = 80.1106131546315$$
$$x_{48} = -75.398223686155$$
$$x_{49} = -28.2743338823081$$
$$x_{50} = -31.4159265358979$$
$$x_{51} = 72.2566310325652$$
$$x_{52} = 95.8185760508519$$
$$x_{53} = -97.3893722612836$$
$$x_{54} = -65.9734457253857$$
$$x_{55} = 48.6946859820148$$
$$x_{56} = 56.5486677646163$$
$$x_{57} = 86.3937978909611$$
$$x_{58} = -95.8185758682892$$
$$x_{59} = 1.57079648184495$$
$$x_{60} = 23.5619450555027$$
$$x_{61} = -45.5530935824522$$
$$x_{62} = -42.4115006663339$$
$$x_{63} = -37.6991118430775$$
$$x_{64} = 42.4115007327518$$
$$x_{65} = 20.4203521537986$$
$$x_{66} = 51.8362788934209$$
$$x_{67} = 73.8274274722061$$
$$x_{68} = 12.5663706143592$$
$$x_{69} = 9.42477796076938$$
$$x_{70} = -29.8451300981866$$
$$x_{71} = -64.4026492408158$$
$$x_{72} = 7.85398164444075$$
$$x_{73} = -36.128315423197$$
$$x_{74} = -61.261056881309$$
$$x_{75} = -7.85398150264842$$
$$x_{76} = -58.1194640027517$$
$$x_{77} = -53.4070751110265$$
$$x_{78} = -94.2477796076938$$
$$x_{79} = -81.6814089933346$$
$$x_{80} = 28.2743338823081$$
$$x_{81} = 4.71238883532779$$
$$x_{82} = -83.2522054524035$$
$$x_{83} = 59.6902604182061$$
$$x_{84} = 43.9822971502571$$
$$x_{85} = -87.9645943005142$$
$$x_{86} = -80.1106125824842$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi (----, 0) 2
pi (--, 0) 2
/ _______________\ / / _______________\\ / / _______________\\
| / ___ | | | / ___ || 2| | / ___ ||
(-2*atan\\/ - 2*\/ 6 + 5 /, -sin\2*atan\\/ - 2*\/ 6 + 5 //*cos \2*atan\\/ - 2*\/ 6 + 5 //) / _______________\ / / _______________\\ / / _______________\\
| / ___ | | | / ___ || 2| | / ___ ||
(2*atan\\/ - 2*\/ 6 + 5 /, sin\2*atan\\/ - 2*\/ 6 + 5 //*cos \2*atan\\/ - 2*\/ 6 + 5 //) / _____________\ / / _____________\\ / / _____________\\
| / ___ | | | / ___ || 2| | / ___ ||
(-2*atan\\/ 2*\/ 6 + 5 /, -sin\2*atan\\/ 2*\/ 6 + 5 //*cos \2*atan\\/ 2*\/ 6 + 5 //) / _____________\ / / _____________\\ / / _____________\\
| / ___ | | | / ___ || 2| | / ___ ||
(2*atan\\/ 2*\/ 6 + 5 /, sin\2*atan\\/ 2*\/ 6 + 5 //*cos \2*atan\\/ 2*\/ 6 + 5 //)Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{2} \right)}\right] \cup \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{2} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{2} \right)}\right] \cup \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{2} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)*cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График