Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*x^3-15*x^2+36*x
-
4*sin(3*x)
-
sin(x)+cos(2*x)
-
x^(3)-9*x^(2)+24*x-16
- Производная:
-
sin(x)+cos(2*x)
-
Идентичные выражения
- sin(x)+cos(два *x)
- синус от (x) плюс косинус от (2 умножить на x)
- синус от (x) плюс косинус от (два умножить на x)
- sin(x)+cos(2x)
- sinx+cos2x
-
Похожие выражения
- sin(x)-cos(2*x)
- sinx+cos(2*x)
График функции y = sin(x)+cos(2*x)
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = sin(x) + cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
f = sin(x) + cos(2*x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.61799387799149$$
$$x_{2} = -29.8451300966669$$
$$x_{3} = -71.733032256967$$
$$x_{4} = -19.3731546971371$$
$$x_{5} = 56.025068989018$$
$$x_{6} = 53.9306738866248$$
$$x_{7} = -0.523598775598299$$
$$x_{8} = 85.3466004225227$$
$$x_{9} = 49.7418836818384$$
$$x_{10} = -36.1283154198995$$
$$x_{11} = 1.57079653522944$$
$$x_{12} = 64.402649309204$$
$$x_{13} = -10.9955744709241$$
$$x_{14} = 83.2522055084245$$
$$x_{15} = 60.2138591938044$$
$$x_{16} = -80.1106125800495$$
$$x_{17} = 41.3643032722656$$
$$x_{18} = -25.6563400043166$$
$$x_{19} = -10.9955748250458$$
$$x_{20} = 66.497044500984$$
$$x_{21} = -4.71238877564271$$
$$x_{22} = -92.6769830653709$$
$$x_{23} = 18.3259571459405$$
$$x_{24} = -40.317105721069$$
$$x_{25} = 22.5147473507269$$
$$x_{26} = 20.4203521503825$$
$$x_{27} = -84.2994028713261$$
$$x_{28} = -31.9395253114962$$
$$x_{29} = 629.88932728012$$
$$x_{30} = -57.0722665402146$$
$$x_{31} = 39.2699083672181$$
$$x_{32} = -142.942465507123$$
$$x_{33} = -48.6946859199052$$
$$x_{34} = 62.3082542961976$$
$$x_{35} = -23.5619450081821$$
$$x_{36} = 3.66519142918809$$
$$x_{37} = 12.0427718387609$$
$$x_{38} = 83.2522056280779$$
$$x_{39} = 16.2315620435473$$
$$x_{40} = -86.3937977736525$$
$$x_{41} = 5.75958653158129$$
$$x_{42} = -38.2227106186758$$
$$x_{43} = -59.1666616426078$$
$$x_{44} = 51.8362788989008$$
$$x_{45} = -17.2787597988071$$
$$x_{46} = 100.007366139275$$
$$x_{47} = -61.2610569525587$$
$$x_{48} = 95.8185760576709$$
$$x_{49} = 7.85398173972726$$
$$x_{50} = 26.7035373553251$$
$$x_{51} = 30.8923277602996$$
$$x_{52} = -46.6002910282486$$
$$x_{53} = 89.5353908426683$$
$$x_{54} = -34.0339204138894$$
$$x_{55} = -13.0899693899575$$
$$x_{56} = 97.9129710368819$$
$$x_{57} = 24.60914245312$$
$$x_{58} = 47.6474885794452$$
$$x_{59} = -78.0162175641465$$
$$x_{60} = -54.9778719400612$$
$$x_{61} = -90.5825881785057$$
$$x_{62} = -75.9218224617533$$
$$x_{63} = 68.5914396033772$$
$$x_{64} = -44.5058959258554$$
$$x_{65} = -73.8274272801063$$
$$x_{66} = 76.9690198127977$$
$$x_{67} = -63.3554518473942$$
$$x_{68} = -54.9778716096663$$
$$x_{69} = 93.7241808320955$$
$$x_{70} = 91.6297857297023$$
$$x_{71} = -27.7507351067098$$
$$x_{72} = -21.4675497995303$$
$$x_{73} = -98.9601687457423$$
$$x_{74} = 45.5530936891365$$
$$x_{75} = 32.986722670018$$
$$x_{76} = -88.4881930761125$$
$$x_{77} = -67.5442421664985$$
$$x_{78} = -69.6386371545737$$
$$x_{79} = 14.1371671029003$$
$$x_{80} = 70.6858345098172$$
$$x_{81} = -42.4115006190379$$
$$x_{82} = -105.243352993987$$
$$x_{83} = 72.7802298081635$$
$$x_{84} = 58.1194644720255$$
$$x_{85} = -65.4498469497874$$
$$x_{86} = -98.9601689600088$$
$$x_{87} = 74.8746249105567$$
$$x_{88} = 9.94837673636768$$
$$x_{89} = -82.2050077689329$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.61799387799149$$
$$x_{2} = -29.8451300966669$$
$$x_{3} = -71.733032256967$$
$$x_{4} = -19.3731546971371$$
$$x_{5} = 56.025068989018$$
$$x_{6} = 53.9306738866248$$
$$x_{7} = -0.523598775598299$$
$$x_{8} = 85.3466004225227$$
$$x_{9} = 49.7418836818384$$
$$x_{10} = -36.1283154198995$$
$$x_{11} = 1.57079653522944$$
$$x_{12} = 64.402649309204$$
$$x_{13} = -10.9955744709241$$
$$x_{14} = 83.2522055084245$$
$$x_{15} = 60.2138591938044$$
$$x_{16} = -80.1106125800495$$
$$x_{17} = 41.3643032722656$$
$$x_{18} = -25.6563400043166$$
$$x_{19} = -10.9955748250458$$
$$x_{20} = 66.497044500984$$
$$x_{21} = -4.71238877564271$$
$$x_{22} = -92.6769830653709$$
$$x_{23} = 18.3259571459405$$
$$x_{24} = -40.317105721069$$
$$x_{25} = 22.5147473507269$$
$$x_{26} = 20.4203521503825$$
$$x_{27} = -84.2994028713261$$
$$x_{28} = -31.9395253114962$$
$$x_{29} = 629.88932728012$$
$$x_{30} = -57.0722665402146$$
$$x_{31} = 39.2699083672181$$
$$x_{32} = -142.942465507123$$
$$x_{33} = -48.6946859199052$$
$$x_{34} = 62.3082542961976$$
$$x_{35} = -23.5619450081821$$
$$x_{36} = 3.66519142918809$$
$$x_{37} = 12.0427718387609$$
$$x_{38} = 83.2522056280779$$
$$x_{39} = 16.2315620435473$$
$$x_{40} = -86.3937977736525$$
$$x_{41} = 5.75958653158129$$
$$x_{42} = -38.2227106186758$$
$$x_{43} = -59.1666616426078$$
$$x_{44} = 51.8362788989008$$
$$x_{45} = -17.2787597988071$$
$$x_{46} = 100.007366139275$$
$$x_{47} = -61.2610569525587$$
$$x_{48} = 95.8185760576709$$
$$x_{49} = 7.85398173972726$$
$$x_{50} = 26.7035373553251$$
$$x_{51} = 30.8923277602996$$
$$x_{52} = -46.6002910282486$$
$$x_{53} = 89.5353908426683$$
$$x_{54} = -34.0339204138894$$
$$x_{55} = -13.0899693899575$$
$$x_{56} = 97.9129710368819$$
$$x_{57} = 24.60914245312$$
$$x_{58} = 47.6474885794452$$
$$x_{59} = -78.0162175641465$$
$$x_{60} = -54.9778719400612$$
$$x_{61} = -90.5825881785057$$
$$x_{62} = -75.9218224617533$$
$$x_{63} = 68.5914396033772$$
$$x_{64} = -44.5058959258554$$
$$x_{65} = -73.8274272801063$$
$$x_{66} = 76.9690198127977$$
$$x_{67} = -63.3554518473942$$
$$x_{68} = -54.9778716096663$$
$$x_{69} = 93.7241808320955$$
$$x_{70} = 91.6297857297023$$
$$x_{71} = -27.7507351067098$$
$$x_{72} = -21.4675497995303$$
$$x_{73} = -98.9601687457423$$
$$x_{74} = 45.5530936891365$$
$$x_{75} = 32.986722670018$$
$$x_{76} = -88.4881930761125$$
$$x_{77} = -67.5442421664985$$
$$x_{78} = -69.6386371545737$$
$$x_{79} = 14.1371671029003$$
$$x_{80} = 70.6858345098172$$
$$x_{81} = -42.4115006190379$$
$$x_{82} = -105.243352993987$$
$$x_{83} = 72.7802298081635$$
$$x_{84} = 58.1194644720255$$
$$x_{85} = -65.4498469497874$$
$$x_{86} = -98.9601689600088$$
$$x_{87} = 74.8746249105567$$
$$x_{88} = 9.94837673636768$$
$$x_{89} = -82.2050077689329$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi (----, -2) 2
pi (--, 0) 2
/ ____ \ / / ____ \\ / / ____ \\
| \/ 15 I| | | \/ 15 I|| | | \/ 15 I||
(-I*log|- ------ + -|, - sin|I*log|- ------ + -|| + cos|2*I*log|- ------ + -||)
\ 4 4/ \ \ 4 4// \ \ 4 4// / ____ \ / / ____ \\ / / ____ \\
|\/ 15 I| | |\/ 15 I|| | |\/ 15 I||
(-I*log|------ + -|, - sin|I*log|------ + -|| + cos|2*I*log|------ + -||)
\ 4 4/ \ \ 4 4// \ \ 4 4// Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{16} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{16} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{- \sqrt{129} + 63}} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{16} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{16} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{- \sqrt{129} + 63}} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \left(- \sqrt{129} + 1\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + cos(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График