Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(9-6*x-3*x^2)/(x^2-2*x+13)
-
(sqrt(3-x))/x^2-25
- 3-4*sin(x)
-
log(x^2-2*x+6)
-
Идентичные выражения
- sin((|x|))
- синус от (( модуль от x|))
- sin|x|
График функции y = sin((|x|))
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = sin(|x|)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
f = sin(|x|)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -53.4070751110265$$
$$x_{2} = -91.106186954104$$
$$x_{3} = -21.9911485751286$$
$$x_{4} = -62.8318530717959$$
$$x_{5} = 28.2743338823081$$
$$x_{6} = -28.2743338823081$$
$$x_{7} = -37.6991118430775$$
$$x_{8} = 81.6814089933346$$
$$x_{9} = -100.530964914873$$
$$x_{10} = 37.6991118430775$$
$$x_{11} = 56.5486677646163$$
$$x_{12} = 84.8230016469244$$
$$x_{13} = -34.5575191894877$$
$$x_{14} = 47.1238898038469$$
$$x_{15} = 25.1327412287183$$
$$x_{16} = 78.5398163397448$$
$$x_{17} = 69.1150383789755$$
$$x_{18} = 75.398223686155$$
$$x_{19} = 53.4070751110265$$
$$x_{20} = -84.8230016469244$$
$$x_{21} = -87.9645943005142$$
$$x_{22} = 21.9911485751286$$
$$x_{23} = -69.1150383789755$$
$$x_{24} = -15.707963267949$$
$$x_{25} = -81.6814089933346$$
$$x_{26} = -40.8407044966673$$
$$x_{27} = -18.8495559215388$$
$$x_{28} = -59.6902604182061$$
$$x_{29} = -47.1238898038469$$
$$x_{30} = -75.398223686155$$
$$x_{31} = 72.2566310325652$$
$$x_{32} = -31.4159265358979$$
$$x_{33} = -65.9734457253857$$
$$x_{34} = -113.097335529233$$
$$x_{35} = 50.2654824574367$$
$$x_{36} = 62.8318530717959$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = -2642.07942166902$$
$$x_{39} = 9.42477796076938$$
$$x_{40} = 87.9645943005142$$
$$x_{41} = -12.5663706143592$$
$$x_{42} = 3.14159265358979$$
$$x_{43} = 97.3893722612836$$
$$x_{44} = -25.1327412287183$$
$$x_{45} = 18.8495559215388$$
$$x_{46} = 40.8407044966673$$
$$x_{47} = 65.9734457253857$$
$$x_{48} = -279.601746169492$$
$$x_{49} = 31.4159265358979$$
$$x_{50} = 15.707963267949$$
$$x_{51} = -94.2477796076938$$
$$x_{52} = -3.14159265358979$$
$$x_{53} = -50.2654824574367$$
$$x_{54} = 94.2477796076938$$
$$x_{55} = -9.42477796076938$$
$$x_{56} = -72.2566310325652$$
$$x_{57} = -43.9822971502571$$
$$x_{58} = 12.5663706143592$$
$$x_{59} = -97.3893722612836$$
$$x_{60} = 59.6902604182061$$
$$x_{61} = 43.9822971502571$$
$$x_{62} = 34.5575191894877$$
$$x_{63} = 6.28318530717959$$
$$x_{64} = -56.5486677646163$$
$$x_{65} = -232.477856365645$$
$$x_{66} = 91.106186954104$$
$$x_{67} = 100.530964914873$$
$$x_{68} = -6.28318530717959$$
$$x_{69} = -78.5398163397448$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -53.4070751110265$$
$$x_{2} = -91.106186954104$$
$$x_{3} = -21.9911485751286$$
$$x_{4} = -62.8318530717959$$
$$x_{5} = 28.2743338823081$$
$$x_{6} = -28.2743338823081$$
$$x_{7} = -37.6991118430775$$
$$x_{8} = 81.6814089933346$$
$$x_{9} = -100.530964914873$$
$$x_{10} = 37.6991118430775$$
$$x_{11} = 56.5486677646163$$
$$x_{12} = 84.8230016469244$$
$$x_{13} = -34.5575191894877$$
$$x_{14} = 47.1238898038469$$
$$x_{15} = 25.1327412287183$$
$$x_{16} = 78.5398163397448$$
$$x_{17} = 69.1150383789755$$
$$x_{18} = 75.398223686155$$
$$x_{19} = 53.4070751110265$$
$$x_{20} = -84.8230016469244$$
$$x_{21} = -87.9645943005142$$
$$x_{22} = 21.9911485751286$$
$$x_{23} = -69.1150383789755$$
$$x_{24} = -15.707963267949$$
$$x_{25} = -81.6814089933346$$
$$x_{26} = -40.8407044966673$$
$$x_{27} = -18.8495559215388$$
$$x_{28} = -59.6902604182061$$
$$x_{29} = -47.1238898038469$$
$$x_{30} = -75.398223686155$$
$$x_{31} = 72.2566310325652$$
$$x_{32} = -31.4159265358979$$
$$x_{33} = -65.9734457253857$$
$$x_{34} = -113.097335529233$$
$$x_{35} = 50.2654824574367$$
$$x_{36} = 62.8318530717959$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = -2642.07942166902$$
$$x_{39} = 9.42477796076938$$
$$x_{40} = 87.9645943005142$$
$$x_{41} = -12.5663706143592$$
$$x_{42} = 3.14159265358979$$
$$x_{43} = 97.3893722612836$$
$$x_{44} = -25.1327412287183$$
$$x_{45} = 18.8495559215388$$
$$x_{46} = 40.8407044966673$$
$$x_{47} = 65.9734457253857$$
$$x_{48} = -279.601746169492$$
$$x_{49} = 31.4159265358979$$
$$x_{50} = 15.707963267949$$
$$x_{51} = -94.2477796076938$$
$$x_{52} = -3.14159265358979$$
$$x_{53} = -50.2654824574367$$
$$x_{54} = 94.2477796076938$$
$$x_{55} = -9.42477796076938$$
$$x_{56} = -72.2566310325652$$
$$x_{57} = -43.9822971502571$$
$$x_{58} = 12.5663706143592$$
$$x_{59} = -97.3893722612836$$
$$x_{60} = 59.6902604182061$$
$$x_{61} = 43.9822971502571$$
$$x_{62} = 34.5575191894877$$
$$x_{63} = 6.28318530717959$$
$$x_{64} = -56.5486677646163$$
$$x_{65} = -232.477856365645$$
$$x_{66} = 91.106186954104$$
$$x_{67} = 100.530964914873$$
$$x_{68} = -6.28318530717959$$
$$x_{69} = -78.5398163397448$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -95.8185759344887$$
$$x_{2} = 92.6769832808989$$
$$x_{3} = -51.8362787842316$$
$$x_{4} = 39.2699081698724$$
$$x_{5} = -45.553093477052$$
$$x_{6} = -89.5353906273091$$
$$x_{7} = 45.553093477052$$
$$x_{8} = -32.9867228626928$$
$$x_{9} = -19812.454069864$$
$$x_{10} = -61.261056745001$$
$$x_{11} = 86.3937979737193$$
$$x_{12} = 4.71238898038469$$
$$x_{13} = 32.9867228626928$$
$$x_{14} = -83.2522053201295$$
$$x_{15} = 76.9690200129499$$
$$x_{16} = -76.9690200129499$$
$$x_{17} = 89.5353906273091$$
$$x_{18} = 1.5707963267949$$
$$x_{19} = 73.8274273593601$$
$$x_{20} = -73.8274273593601$$
$$x_{21} = 58.1194640914112$$
$$x_{22} = -23.5619449019235$$
$$x_{23} = 26.7035375555132$$
$$x_{24} = -92.6769832808989$$
$$x_{25} = 42.4115008234622$$
$$x_{26} = -80.1106126665397$$
$$x_{27} = 20.4203522483337$$
$$x_{28} = 80.1106126665397$$
$$x_{29} = 29.845130209103$$
$$x_{30} = -86.3937979737193$$
$$x_{31} = -1.5707963267949$$
$$x_{32} = 0$$
$$x_{33} = 54.9778714378214$$
$$x_{34} = 23.5619449019235$$
$$x_{35} = -17.2787595947439$$
$$x_{36} = 14.1371669411541$$
$$x_{37} = -98.9601685880785$$
$$x_{38} = 10.9955742875643$$
$$x_{39} = -20.4203522483337$$
$$x_{40} = 17.2787595947439$$
$$x_{41} = 61.261056745001$$
$$x_{42} = -168.075206967054$$
$$x_{43} = 98.9601685880785$$
$$x_{44} = -36.1283155162826$$
$$x_{45} = -271.747764535517$$
$$x_{46} = 36.1283155162826$$
$$x_{47} = -14.1371669411541$$
$$x_{48} = 70.6858347057703$$
$$x_{49} = 95.8185759344887$$
$$x_{50} = -10.9955742875643$$
$$x_{51} = -70.6858347057703$$
$$x_{52} = -4.71238898038469$$
$$x_{53} = 51.8362787842316$$
$$x_{54} = 67.5442420521806$$
$$x_{55} = -7.85398163397448$$
$$x_{56} = -48.6946861306418$$
$$x_{57} = -64.4026493985908$$
$$x_{58} = 7.85398163397448$$
$$x_{59} = -26.7035375555132$$
$$x_{60} = -39.2699081698724$$
$$x_{61} = 64.4026493985908$$
$$x_{62} = -67.5442420521806$$
$$x_{63} = -42.4115008234622$$
$$x_{64} = 48.6946861306418$$
$$x_{65} = -54.9778714378214$$
$$x_{66} = -29.845130209103$$
$$x_{67} = -58.1194640914112$$
$$x_{68} = 83.2522053201295$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 92.6769832808989$$
$$x_{2} = -61.261056745001$$
$$x_{3} = 86.3937979737193$$
$$x_{4} = 4.71238898038469$$
$$x_{5} = 73.8274273593601$$
$$x_{6} = -73.8274273593601$$
$$x_{7} = -23.5619449019235$$
$$x_{8} = -92.6769832808989$$
$$x_{9} = 42.4115008234622$$
$$x_{10} = -80.1106126665397$$
$$x_{11} = 80.1106126665397$$
$$x_{12} = 29.845130209103$$
$$x_{13} = -86.3937979737193$$
$$x_{14} = 0$$
$$x_{15} = 54.9778714378214$$
$$x_{16} = 23.5619449019235$$
$$x_{17} = -17.2787595947439$$
$$x_{18} = -98.9601685880785$$
$$x_{19} = 10.9955742875643$$
$$x_{20} = 17.2787595947439$$
$$x_{21} = 61.261056745001$$
$$x_{22} = -168.075206967054$$
$$x_{23} = 98.9601685880785$$
$$x_{24} = -36.1283155162826$$
$$x_{25} = 36.1283155162826$$
$$x_{26} = -10.9955742875643$$
$$x_{27} = -4.71238898038469$$
$$x_{28} = 67.5442420521806$$
$$x_{29} = -48.6946861306418$$
$$x_{30} = -67.5442420521806$$
$$x_{31} = -42.4115008234622$$
$$x_{32} = 48.6946861306418$$
$$x_{33} = -54.9778714378214$$
$$x_{34} = -29.845130209103$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{34} = -95.8185759344887$$
$$x_{34} = -51.8362787842316$$
$$x_{34} = 39.2699081698724$$
$$x_{34} = -45.553093477052$$
$$x_{34} = -89.5353906273091$$
$$x_{34} = 45.553093477052$$
$$x_{34} = -32.9867228626928$$
$$x_{34} = -19812.454069864$$
$$x_{34} = 32.9867228626928$$
$$x_{34} = -83.2522053201295$$
$$x_{34} = 76.9690200129499$$
$$x_{34} = -76.9690200129499$$
$$x_{34} = 89.5353906273091$$
$$x_{34} = 1.5707963267949$$
$$x_{34} = 58.1194640914112$$
$$x_{34} = 26.7035375555132$$
$$x_{34} = 20.4203522483337$$
$$x_{34} = -1.5707963267949$$
$$x_{34} = 14.1371669411541$$
$$x_{34} = -20.4203522483337$$
$$x_{34} = -271.747764535517$$
$$x_{34} = -14.1371669411541$$
$$x_{34} = 70.6858347057703$$
$$x_{34} = 95.8185759344887$$
$$x_{34} = -70.6858347057703$$
$$x_{34} = 51.8362787842316$$
$$x_{34} = -7.85398163397448$$
$$x_{34} = -64.4026493985908$$
$$x_{34} = 7.85398163397448$$
$$x_{34} = -26.7035375555132$$
$$x_{34} = -39.2699081698724$$
$$x_{34} = 64.4026493985908$$
$$x_{34} = -58.1194640914112$$
$$x_{34} = 83.2522053201295$$
Убывает на промежутках
$$\left[98.9601685880785, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -168.075206967054\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -95.8185759344887$$
$$x_{2} = 92.6769832808989$$
$$x_{3} = -51.8362787842316$$
$$x_{4} = 39.2699081698724$$
$$x_{5} = -45.553093477052$$
$$x_{6} = -89.5353906273091$$
$$x_{7} = 45.553093477052$$
$$x_{8} = -32.9867228626928$$
$$x_{9} = -19812.454069864$$
$$x_{10} = -61.261056745001$$
$$x_{11} = 86.3937979737193$$
$$x_{12} = 4.71238898038469$$
$$x_{13} = 32.9867228626928$$
$$x_{14} = -83.2522053201295$$
$$x_{15} = 76.9690200129499$$
$$x_{16} = -76.9690200129499$$
$$x_{17} = 89.5353906273091$$
$$x_{18} = 1.5707963267949$$
$$x_{19} = 73.8274273593601$$
$$x_{20} = -73.8274273593601$$
$$x_{21} = 58.1194640914112$$
$$x_{22} = -23.5619449019235$$
$$x_{23} = 26.7035375555132$$
$$x_{24} = -92.6769832808989$$
$$x_{25} = 42.4115008234622$$
$$x_{26} = -80.1106126665397$$
$$x_{27} = 20.4203522483337$$
$$x_{28} = 80.1106126665397$$
$$x_{29} = 29.845130209103$$
$$x_{30} = -86.3937979737193$$
$$x_{31} = -1.5707963267949$$
$$x_{32} = 0$$
$$x_{33} = 54.9778714378214$$
$$x_{34} = 23.5619449019235$$
$$x_{35} = -17.2787595947439$$
$$x_{36} = 14.1371669411541$$
$$x_{37} = -98.9601685880785$$
$$x_{38} = 10.9955742875643$$
$$x_{39} = -20.4203522483337$$
$$x_{40} = 17.2787595947439$$
$$x_{41} = 61.261056745001$$
$$x_{42} = -168.075206967054$$
$$x_{43} = 98.9601685880785$$
$$x_{44} = -36.1283155162826$$
$$x_{45} = -271.747764535517$$
$$x_{46} = 36.1283155162826$$
$$x_{47} = -14.1371669411541$$
$$x_{48} = 70.6858347057703$$
$$x_{49} = 95.8185759344887$$
$$x_{50} = -10.9955742875643$$
$$x_{51} = -70.6858347057703$$
$$x_{52} = -4.71238898038469$$
$$x_{53} = 51.8362787842316$$
$$x_{54} = 67.5442420521806$$
$$x_{55} = -7.85398163397448$$
$$x_{56} = -48.6946861306418$$
$$x_{57} = -64.4026493985908$$
$$x_{58} = 7.85398163397448$$
$$x_{59} = -26.7035375555132$$
$$x_{60} = -39.2699081698724$$
$$x_{61} = 64.4026493985908$$
$$x_{62} = -67.5442420521806$$
$$x_{63} = -42.4115008234622$$
$$x_{64} = 48.6946861306418$$
$$x_{65} = -54.9778714378214$$
$$x_{66} = -29.845130209103$$
$$x_{67} = -58.1194640914112$$
$$x_{68} = 83.2522053201295$$
Зн. экстремумы в точках:
(-95.8185759344887, 1)
(92.6769832808989, -1)
(-51.8362787842316, 1)
(39.2699081698724, 1)
(-45.553093477052, 1)
(-89.5353906273091, 1)
(45.553093477052, 1)
(-32.9867228626928, 1)
(-19812.454069864, 1)
(-61.261056745001, -1)
(86.3937979737193, -1)
(4.71238898038469, -1)
(32.9867228626928, 1)
(-83.2522053201295, 1)
(76.9690200129499, 1)
(-76.9690200129499, 1)
(89.5353906273091, 1)
(1.5707963267949, 1)
(73.8274273593601, -1)
(-73.8274273593601, -1)
(58.1194640914112, 1)
(-23.5619449019235, -1)
(26.7035375555132, 1)
(-92.6769832808989, -1)
(42.4115008234622, -1)
(-80.1106126665397, -1)
(20.4203522483337, 1)
(80.1106126665397, -1)
(29.845130209103, -1)
(-86.3937979737193, -1)
(-1.5707963267949, 1)
(0, 0)
(54.9778714378214, -1)
(23.5619449019235, -1)
(-17.2787595947439, -1)
(14.1371669411541, 1)
(-98.9601685880785, -1)
(10.9955742875643, -1)
(-20.4203522483337, 1)
(17.2787595947439, -1)
(61.261056745001, -1)
(-168.075206967054, -1)
(98.9601685880785, -1)
(-36.1283155162826, -1)
(-271.747764535517, 1)
(36.1283155162826, -1)
(-14.1371669411541, 1)
(70.6858347057703, 1)
(95.8185759344887, 1)
(-10.9955742875643, -1)
(-70.6858347057703, 1)
(-4.71238898038469, -1)
(51.8362787842316, 1)
(67.5442420521806, -1)
(-7.85398163397448, 1)
(-48.6946861306418, -1)
(-64.4026493985908, 1)
(7.85398163397448, 1)
(-26.7035375555132, 1)
(-39.2699081698724, 1)
(64.4026493985908, 1)
(-67.5442420521806, -1)
(-42.4115008234622, -1)
(48.6946861306418, -1)
(-54.9778714378214, -1)
(-29.845130209103, -1)
(-58.1194640914112, 1)
(83.2522053201295, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 92.6769832808989$$
$$x_{2} = -61.261056745001$$
$$x_{3} = 86.3937979737193$$
$$x_{4} = 4.71238898038469$$
$$x_{5} = 73.8274273593601$$
$$x_{6} = -73.8274273593601$$
$$x_{7} = -23.5619449019235$$
$$x_{8} = -92.6769832808989$$
$$x_{9} = 42.4115008234622$$
$$x_{10} = -80.1106126665397$$
$$x_{11} = 80.1106126665397$$
$$x_{12} = 29.845130209103$$
$$x_{13} = -86.3937979737193$$
$$x_{14} = 0$$
$$x_{15} = 54.9778714378214$$
$$x_{16} = 23.5619449019235$$
$$x_{17} = -17.2787595947439$$
$$x_{18} = -98.9601685880785$$
$$x_{19} = 10.9955742875643$$
$$x_{20} = 17.2787595947439$$
$$x_{21} = 61.261056745001$$
$$x_{22} = -168.075206967054$$
$$x_{23} = 98.9601685880785$$
$$x_{24} = -36.1283155162826$$
$$x_{25} = 36.1283155162826$$
$$x_{26} = -10.9955742875643$$
$$x_{27} = -4.71238898038469$$
$$x_{28} = 67.5442420521806$$
$$x_{29} = -48.6946861306418$$
$$x_{30} = -67.5442420521806$$
$$x_{31} = -42.4115008234622$$
$$x_{32} = 48.6946861306418$$
$$x_{33} = -54.9778714378214$$
$$x_{34} = -29.845130209103$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{34} = -95.8185759344887$$
$$x_{34} = -51.8362787842316$$
$$x_{34} = 39.2699081698724$$
$$x_{34} = -45.553093477052$$
$$x_{34} = -89.5353906273091$$
$$x_{34} = 45.553093477052$$
$$x_{34} = -32.9867228626928$$
$$x_{34} = -19812.454069864$$
$$x_{34} = 32.9867228626928$$
$$x_{34} = -83.2522053201295$$
$$x_{34} = 76.9690200129499$$
$$x_{34} = -76.9690200129499$$
$$x_{34} = 89.5353906273091$$
$$x_{34} = 1.5707963267949$$
$$x_{34} = 58.1194640914112$$
$$x_{34} = 26.7035375555132$$
$$x_{34} = 20.4203522483337$$
$$x_{34} = -1.5707963267949$$
$$x_{34} = 14.1371669411541$$
$$x_{34} = -20.4203522483337$$
$$x_{34} = -271.747764535517$$
$$x_{34} = -14.1371669411541$$
$$x_{34} = 70.6858347057703$$
$$x_{34} = 95.8185759344887$$
$$x_{34} = -70.6858347057703$$
$$x_{34} = 51.8362787842316$$
$$x_{34} = -7.85398163397448$$
$$x_{34} = -64.4026493985908$$
$$x_{34} = 7.85398163397448$$
$$x_{34} = -26.7035375555132$$
$$x_{34} = -39.2699081698724$$
$$x_{34} = 64.4026493985908$$
$$x_{34} = -58.1194640914112$$
$$x_{34} = 83.2522053201295$$
Убывает на промежутках
$$\left[98.9601685880785, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -168.075206967054\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Да
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Да
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График