Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная$$48 x \left(x + 1\right)^{2} + 16 \left(x + 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 0)
-27
(-1/4, ----)
16
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{4}\right]$$