Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- log(x)^(2)
- (|x-5|)
-
x^2*(log(x))
- (x-1)/(sqrt(x))
- Производная:
-
6*x^7+4*x^3-1/8*x
-
Идентичные выражения
- шесть *x^ семь + четыре *x^ три - один / восемь *x
- 6 умножить на x в степени 7 плюс 4 умножить на x в кубе минус 1 делить на 8 умножить на x
- шесть умножить на x в степени семь плюс четыре умножить на x в степени три минус один делить на восемь умножить на x
- 6*x7+4*x3-1/8*x
- 6*x⁷+4*x³-1/8*x
- 6*x в степени 7+4*x в степени 3-1/8*x
- 6x^7+4x^3-1/8x
- 6x7+4x3-1/8x
- 6*x^7+4*x^3-1 разделить на 8*x
-
Похожие выражения
- 6*x^7-4*x^3-1/8*x
- 6*x^7+4*x^3+1/8*x
График функции y = 6*x^7+4*x^3-1/8*x
Решение
Вы ввели
[src]
7 3 x
f(x) = 6*x + 4*x - -
8
$$f{\left(x \right)} = 6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}$$
f = 6*x^7 + 4*x^3 - x/8
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{- 16 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{2} \left(9 + \sqrt{8273}\right)^{\frac{2}{3}}}}{6 \sqrt[6]{9 + \sqrt{8273}}}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{- 16 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{2} \left(9 + \sqrt{8273}\right)^{\frac{2}{3}}}}{6 \sqrt[6]{9 + \sqrt{8273}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.1766477388127$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -0.1766477388127$$
значит надо решить уравнение:
$$6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{- 16 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{2} \left(9 + \sqrt{8273}\right)^{\frac{2}{3}}}}{6 \sqrt[6]{9 + \sqrt{8273}}}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{- 16 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{2} \left(9 + \sqrt{8273}\right)^{\frac{2}{3}}}}{6 \sqrt[6]{9 + \sqrt{8273}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.1766477388127$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -0.1766477388127$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$42 x^{6} + 12 x^{2} - \frac{1}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}, \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$42 x^{6} + 12 x^{2} - \frac{1}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}$$
Зн. экстремумы в точках:
__________________________________________ 3/2 7/2 __________________________________________
/ 2/3 / 2/3\ / 2/3\ / 2/3
____ / 2/3 3 ____ / ________\ ____ | 2/3 3 ____ / ________\ | ____ | 2/3 3 ____ / ________\ | ____ / 2/3 3 ____ / ________\
-\/ 21 *\/ - 16*42 + \/ 42 *\21 + \/ 172473 / \/ 21 *\- 16*42 + \/ 42 *\21 + \/ 172473 / / \/ 21 *\- 16*42 + \/ 42 *\21 + \/ 172473 / / \/ 21 *\/ - 16*42 + \/ 42 *\21 + \/ 172473 /
(-------------------------------------------------------, - ---------------------------------------------------- - ---------------------------------------------------- + -----------------------------------------------------)
_________________ _________________ 7/6 _________________
6 / ________ / ________ / ________\ 6 / ________
42*\/ 21 + \/ 172473 882*\/ 21 + \/ 172473 4148928*\21 + \/ 172473 / 336*\/ 21 + \/ 172473 __________________________________________ __________________________________________ 7/2 3/2
/ 2/3 / 2/3 / 2/3\ / 2/3\
____ / 2/3 3 ____ / ________\ ____ / 2/3 3 ____ / ________\ ____ | 2/3 3 ____ / ________\ | ____ | 2/3 3 ____ / ________\ |
\/ 21 *\/ - 16*42 + \/ 42 *\21 + \/ 172473 / \/ 21 *\/ - 16*42 + \/ 42 *\21 + \/ 172473 / \/ 21 *\- 16*42 + \/ 42 *\21 + \/ 172473 / / \/ 21 *\- 16*42 + \/ 42 *\21 + \/ 172473 / /
(-----------------------------------------------------, - ----------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------)
_________________ _________________ 7/6 _________________
6 / ________ 6 / ________ / ________\ / ________
42*\/ 21 + \/ 172473 336*\/ 21 + \/ 172473 4148928*\21 + \/ 172473 / 882*\/ 21 + \/ 172473 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}, \frac{\sqrt{21} \sqrt{- 16 \cdot 42^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{42} \left(21 + \sqrt{172473}\right)^{\frac{2}{3}}}}{42 \sqrt[6]{21 + \sqrt{172473}}}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 x \left(21 x^{4} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 x \left(21 x^{4} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6*x^7 + 4*x^3 - x/8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8} = - 6 x^{7} - 4 x^{3} + \frac{x}{8}$$
- Нет
$$6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8} = 6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8} = - 6 x^{7} - 4 x^{3} + \frac{x}{8}$$
- Нет
$$6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8} = 6 x^{7} + 4 x^{3} - \frac{x}{8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График