Господин Экзамен

Другие калькуляторы

11*x/(16+x^2)
Построение графика функции/ 11*x/(16+x^2)

Вы ввели:

11*x/(16+x^2)

Что Вы имели ввиду?

11*x/(16 + x^2)
 
11*x*2/(16 + x)
 
11*x/((16 + x)^2)
 
11*x/16 + x^2
 
11*x/(16 + x^2)
 
11*x*2/(16 + x)
 
11*x/16 + x^2

График функции y = 11*x/(16+x^2)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
         11*x 
f(x) = -------
             2
       16 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{11 x}{x^{2} + 16}$$ 
f = 11*x/(x^2 + 16)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{11 x}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 11*x/(16 + x^2).
$$11 \cdot 0 \cdot \frac{1}{0^{2} + 16}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{22 x^{2}}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{11}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, -11/8)

(4, 11/8)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Убывает на промежутках
$$\left[-4, 4\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{22 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right)}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 \sqrt{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 4 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 4 \sqrt{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{11 x}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{11 x}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 11*x/(16 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{11}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{11}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{11 x}{x^{2} + 16} = - \frac{11 x}{x^{2} + 16}$$
- Нет
$$\frac{11 x}{x^{2} + 16} = \frac{11 x}{x^{2} + 16}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График
График функции y = 11*x/(16+x^2)
    © Господин Экзамен – Калькулятор