Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(x^2-x+1)/(x-1)
- 1/(sqrt(x^2-1))
- (x^4)/((x^3)-1)
-
(x^2)/4+x/16+1/4
-
Идентичные выражения
- (один +x)/(один -x)^ три
- (1 плюс x) делить на (1 минус x) в кубе
- (один плюс x) делить на (один минус x) в степени три
- (1+x)/(1-x)3
- 1+x/1-x3
- (1+x)/(1-x)³
- (1+x)/(1-x) в степени 3
- 1+x/1-x^3
- (1+x) разделить на (1-x)^3
-
Похожие выражения
- (1-x)/(1-x)^3
- (1+x)/(1+x)^3
График функции y = (1+x)/(1-x)^3
Решение
Вы ввели
[src]
1 + x
f(x) = --------
3
(1 - x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}}$$
f = (x + 1)/((1 - x)^3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{3}} + \frac{3 \left(x + 1\right)}{\left(- x + 1\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{3}} + \frac{3 \left(x + 1\right)}{\left(- x + 1\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -1/27)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-3, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-3, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 + x)/((1 - x)^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(- x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(- x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(- x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(- x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}} = \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
- Нет
$$\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}} = - \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}} = \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
- Нет
$$\frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{3}} = - \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График