Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x^(-5)
- -1/(x^2-8*x+15)
-
x^2+sqrt(x)
-
|x-5|/(x-5)+5/x
- Интеграл d{x}:
- (1+1/x)^(1/2)
- Производная:
- (1+1/x)^(1/2)
-
Идентичные выражения
- (один + один /x)^(один / два)
- (1 плюс 1 делить на x) в степени (1 делить на 2)
- (один плюс один делить на x) в степени (один делить на два)
- (1+1/x)(1/2)
- 1+1/x1/2
- 1+1/x^1/2
- (1+1 разделить на x)^(1 разделить на 2)
-
Похожие выражения
- (1-1/x)^(1/2)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 1)/x)^(13/2)
- (1 + 1/x)^(13/2)
- (1 + 1/x)^(13/2)
Вы ввели:
(1+1/x)^(1/2)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = (1+1/x)^(1/2)
Решение
Вы ввели
[src]
_________
/ 1
f(x) = / 1 + 1*-
\/ x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}$$
f = sqrt(1 + 1/x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{1 - \frac{1}{4 x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \frac{1}{4 x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \frac{1}{4 x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{1 - \frac{1}{4 x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \frac{1}{4 x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \frac{1}{4 x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(1 + 1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = - \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$\sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = - \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График