Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+9/x
- (6-4*x)*cos(x)+4*sin(x)+14
-
cos(2*x+45)
-
x^3-x^2
- Предел функции:
-
(1-1/x)^2
- Интеграл d{x}:
- (1-1/x)^2
-
Идентичные выражения
- (один - один /x)^ два
- (1 минус 1 делить на x) в квадрате
- (один минус один делить на x) в степени два
- (1-1/x)2
- 1-1/x2
- (1-1/x)²
- (1-1/x) в степени 2
- 1-1/x^2
- (1-1 разделить на x)^2
-
Похожие выражения
- -log(x)*cos(x+1)-2/x*sin(x+1)-1/x^2*cos(x+1)
- (1+1/x)^2
- log(1-1/x^2)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 - 1*1)/x)^2
- (1 - 1/x)^2
- (1 - 1/x)^2
Вы ввели:
(1-1/x)^2
Что Вы имели ввиду?
График функции y = (1-1/x)^2
Решение
Вы ввели
[src]
2
/ 1\
f(x) = |1 - 1*-|
\ x/
$$f{\left(x \right)} = \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2}$$
f = (1 - 1/x)^2
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.999999890606237$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.999999890606237$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(-2 + \frac{3}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(-2 + \frac{3}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(-2 + \frac{3}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(-2 + \frac{3}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(-2 + \frac{3}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(-2 + \frac{3}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 - 1/x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = - \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = - \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График