Господин Экзамен

Другие калькуляторы

log(1-1/x^2)
Построение графика функции/ log(1-1/x^2)

Вы ввели:

log(1-1/x^2)

Что Вы имели ввиду?

log((1 - 1*1)/(x^2))
 
log((1 - 1*1)*2/x)
 
log((1 - 1*1)/(x^2))
 
log(1 - 1/(x^2))
 
log(1 - 2/x)
 
log(1 - 1/(x^2))
 
log(1 - 1/(x^2))

График функции y = log(1-1/x^2)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
          /      1 \
f(x) = log|1 - 1*--|
          |       2|
          \      x /
f(x)=log⁡(1−1⋅1x2)f{\left(x \right)} = \log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)} 
f = log(1 - 1/(x^2))
График функции
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log⁡(1−1⋅1x2)=0\log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(1 - 1/(x^2)).
log⁡(1−1⋅102)\log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{0^{2}} \right)}
Результат:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2x3⋅(1−1⋅1x2)=0\frac{2}{x^{3} \cdot \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
−2⋅(3+2x2⋅(1−1x2))x4⋅(1−1x2)=0- \frac{2 \cdot \left(3 + \frac{2}{x^{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=−33x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=33x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−2⋅(3+2x2⋅(1−1x2))x4⋅(1−1x2))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \cdot \left(3 + \frac{2}{x^{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \infty
Возьмём предел
lim⁡x→0+(−2⋅(3+2x2⋅(1−1x2))x4⋅(1−1x2))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \cdot \left(3 + \frac{2}{x^{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \infty
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[−33,33]\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Выпуклая на промежутках
(−∞,−33]∪[33,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(1−1⋅1x2)=0\lim_{x \to -\infty} \log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞log⁡(1−1⋅1x2)=0\lim_{x \to \infty} \log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1 - 1/(x^2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(1−1⋅1x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(log⁡(1−1⋅1x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log⁡(1−1⋅1x2)=log⁡(1−1⋅1x2)\log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)} = \log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}
- Да
log⁡(1−1⋅1x2)=−log⁡(1−1⋅1x2)\log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)} = - \log{\left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = log(1-1/x^2)
    © Господин Экзамен – Калькулятор