Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
- Производная:
-
(1/x)+(4*x^2)
-
Идентичные выражения
- (один /x)+(четыре *x^ два)
- (1 делить на x) плюс (4 умножить на x в квадрате )
- (один делить на x) плюс (четыре умножить на x в степени два)
- (1/x)+(4*x2)
- 1/x+4*x2
- (1/x)+(4*x²)
- (1/x)+(4*x в степени 2)
- (1/x)+(4x^2)
- (1/x)+(4x2)
- 1/x+4x2
- 1/x+4x^2
- (1 разделить на x)+(4*x^2)
-
Похожие выражения
- 1/x+4*x^2
- (1/x)+4*x^2
- (1/x)-(4*x^2)
График функции y = (1/x)+(4*x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
1 2
f(x) = 1*- + 4*x
x
$$f{\left(x \right)} = 4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}$$
f = 4*x^2 + 1/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.629960524947417$$
$$x_{2} = -0.629960524947437$$
значит надо решить уравнение:
$$4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.629960524947417$$
$$x_{2} = -0.629960524947437$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$8 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$8 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(1/2, 3)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(4 + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(4 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(4 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(4 + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(4 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(4 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/x + 4*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = 4 x^{2} - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = - 4 x^{2} + \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = 4 x^{2} - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$4 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = - 4 x^{2} + \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График