Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(1/3)*x^3+(1/2)*x^2-2*x-(1/3)
-
-8/x
- ((|x^2-4*x+3|))
-
7/x
-
Идентичные выражения
- (один / три)*x^ три +(один / два)*x^ два - два *x-(один / три)
- (1 делить на 3) умножить на x в кубе плюс (1 делить на 2) умножить на x в квадрате минус 2 умножить на x минус (1 делить на 3)
- (один делить на три) умножить на x в степени три плюс (один делить на два) умножить на x в степени два минус два умножить на x минус (один делить на три)
- (1/3)*x3+(1/2)*x2-2*x-(1/3)
- 1/3*x3+1/2*x2-2*x-1/3
- (1/3)*x³+(1/2)*x²-2*x-(1/3)
- (1/3)*x в степени 3+(1/2)*x в степени 2-2*x-(1/3)
- (1/3)x^3+(1/2)x^2-2x-(1/3)
- (1/3)x3+(1/2)x2-2x-(1/3)
- 1/3x3+1/2x2-2x-1/3
- 1/3x^3+1/2x^2-2x-1/3
- (1 разделить на 3)*x^3+(1 разделить на 2)*x^2-2*x-(1 разделить на 3)
-
Похожие выражения
- (1/3)*x^3-(1/2)*x^2-2*x-(1/3)
- (1/3)*x^3+(1/2)*x^2+2*x-(1/3)
- (1/3)*x^3+(1/2)*x^2-2*x+(1/3)
- 1/3*x^3+1/2*x^2-2*x-1/3
График функции y = (1/3)*x^3+(1/2)*x^2-2*x-(1/3)
Решение
Вы ввели
[src]
3 2
x x
f(x) = -- + -- - 2*x - 1/3
3 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}$$
f = x^3/3 + x^2/2 - 2*x - 1*1/3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.160889429316188$$
$$x_{2} = -3.25097989505606$$
$$x_{3} = 1.91186932437225$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.160889429316188$$
$$x_{2} = -3.25097989505606$$
$$x_{3} = 1.91186932437225$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + x - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-2, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + x - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -1/3 + 10/3)
(1, -7/6 - 1/3)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-2, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + x^2/2 - 2*x - 1*1/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{1}{3}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{1}{3}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{1}{3} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График