Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
e^(x+(1/x))
-
x^3/(x^2-25)
-
11+48*x-x^3
- x^3-9*x^2+24*x+6
-
Идентичные выражения
- один / три *x^ три -x^ два - три *x+ девять
- 1 делить на 3 умножить на x в кубе минус x в квадрате минус 3 умножить на x плюс 9
- один делить на три умножить на x в степени три минус x в степени два минус три умножить на x плюс девять
- 1/3*x3-x2-3*x+9
- 1/3*x³-x²-3*x+9
- 1/3*x в степени 3-x в степени 2-3*x+9
- 1/3x^3-x^2-3x+9
- 1/3x3-x2-3x+9
- 1 разделить на 3*x^3-x^2-3*x+9
-
Похожие выражения
- 1/3*x^3-x^2-3*x-9
- 1/3*x^3+x^2-3*x+9
- 1/3*x^3-x^2+3*x+9
График функции y = 1/3*x^3-x^2-3*x+9
Решение
Вы ввели
[src]
3
x 2
f(x) = -- - x - 3*x + 9
3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9$$
f = x^3/3 - x^2 - 3*x + 9
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} - 2 x - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, 3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} - 2 x - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 32/3)
(3, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, 3\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - x^2 - 3*x + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9 = - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + 9$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9 = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x - 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9 = - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + 9$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 9 = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x - 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График