Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
e^(x+(1/x))
-
x^3/(x^2-25)
-
11+48*x-x^3
- x^3-9*x^2+24*x+6
-
Идентичные выражения
- x^ три /(x^ два - двадцать пять)
- x в кубе делить на (x в квадрате минус 25)
- x в степени три делить на (x в степени два минус двадцать пять)
- x3/(x2-25)
- x3/x2-25
- x³/(x²-25)
- x в степени 3/(x в степени 2-25)
- x^3/x^2-25
- x^3 разделить на (x^2-25)
-
Похожие выражения
- x^3/(x^2+25)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^3/(x^2 - 1*25)
- x^3/(x^2) - 1*25
- x^3*2/x - 1*25
- x^3/(x^2) - 1*25
- x*3/(x^2 - 1*25)
- x*3/x^2 - 1*25
- x^3/(x^2) - 1*25
Вы ввели:
x^3/(x^2-25)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3/(x^2-25)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = -------
2
x - 25
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 25}$$
f = x^3/(x^2 - 1*25)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 25} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.000193457945354164$$
$$x_{2} = 0.000251181458618269$$
$$x_{3} = 0.000202722990376399$$
$$x_{4} = -0.000305656173388874$$
$$x_{5} = -0.000184517194802921$$
$$x_{6} = 0.000189142690982825$$
$$x_{7} = -0.000266239053721468$$
$$x_{8} = -0.000250240154019732$$
$$x_{9} = 0.000197979540347661$$
$$x_{10} = -0.000242964878608893$$
$$x_{11} = 0.000307087051970796$$
$$x_{12} = -0.000236114197070542$$
$$x_{13} = -0.000217759457954112$$
$$x_{14} = 0.000181076170923117$$
$$x_{15} = 0.000276212468377626$$
$$x_{16} = -0.000212276021440251$$
$$x_{17} = 0.000243850257111723$$
$$x_{18} = -0.00022965099683464$$
$$x_{19} = 0.000218465447111642$$
$$x_{20} = 0.000212945886931255$$
$$x_{21} = -0.000176839715930558$$
$$x_{22} = -0.000192907555801871$$
$$x_{23} = -0.000223542461908353$$
$$x_{24} = 0.000230438866914433$$
$$x_{25} = 0.000224287662109524$$
$$x_{26} = 0.000207705439774638$$
$$x_{27} = 0.000185019700746365$$
$$x_{28} = -0.000180595255003837$$
$$x_{29} = -0.000275065955468704$$
$$x_{30} = -0.00031751280017497$$
$$x_{31} = 0.000177300427913839$$
$$x_{32} = 0.000296019413516987$$
$$x_{33} = -0.000284526508144932$$
$$x_{34} = 0.000267310029392801$$
$$x_{35} = -0.000188617076710788$$
$$x_{36} = -0.000257982177474222$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = 0.0002369486262273$$
$$x_{39} = 0.000258985075266979$$
$$x_{40} = -0.000207068932667953$$
$$x_{41} = -0.000294694521192275$$
$$x_{42} = -0.000197402540933314$$
$$x_{43} = 0.000285757187919531$$
$$x_{44} = -0.000202117356872033$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 25} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.000193457945354164$$
$$x_{2} = 0.000251181458618269$$
$$x_{3} = 0.000202722990376399$$
$$x_{4} = -0.000305656173388874$$
$$x_{5} = -0.000184517194802921$$
$$x_{6} = 0.000189142690982825$$
$$x_{7} = -0.000266239053721468$$
$$x_{8} = -0.000250240154019732$$
$$x_{9} = 0.000197979540347661$$
$$x_{10} = -0.000242964878608893$$
$$x_{11} = 0.000307087051970796$$
$$x_{12} = -0.000236114197070542$$
$$x_{13} = -0.000217759457954112$$
$$x_{14} = 0.000181076170923117$$
$$x_{15} = 0.000276212468377626$$
$$x_{16} = -0.000212276021440251$$
$$x_{17} = 0.000243850257111723$$
$$x_{18} = -0.00022965099683464$$
$$x_{19} = 0.000218465447111642$$
$$x_{20} = 0.000212945886931255$$
$$x_{21} = -0.000176839715930558$$
$$x_{22} = -0.000192907555801871$$
$$x_{23} = -0.000223542461908353$$
$$x_{24} = 0.000230438866914433$$
$$x_{25} = 0.000224287662109524$$
$$x_{26} = 0.000207705439774638$$
$$x_{27} = 0.000185019700746365$$
$$x_{28} = -0.000180595255003837$$
$$x_{29} = -0.000275065955468704$$
$$x_{30} = -0.00031751280017497$$
$$x_{31} = 0.000177300427913839$$
$$x_{32} = 0.000296019413516987$$
$$x_{33} = -0.000284526508144932$$
$$x_{34} = 0.000267310029392801$$
$$x_{35} = -0.000188617076710788$$
$$x_{36} = -0.000257982177474222$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = 0.0002369486262273$$
$$x_{39} = 0.000258985075266979$$
$$x_{40} = -0.000207068932667953$$
$$x_{41} = -0.000294694521192275$$
$$x_{42} = -0.000197402540933314$$
$$x_{43} = 0.000285757187919531$$
$$x_{44} = -0.000202117356872033$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 25} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 5 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 5 \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 5 \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 5 \sqrt{3}\right] \cup \left[5 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 25} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 5 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 5 \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___
___ -375*\/ 3
(-5*\/ 3, -----------)
-25 + 75 ___
___ 375*\/ 3
(5*\/ 3, ---------)
-25 + 75 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 5 \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 5 \sqrt{3}\right] \cup \left[5 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to -5^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -5^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -5$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 5$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to -5^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -5^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -5$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{x^{2} - 25} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{x^{2} - 25}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 5$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 25}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 25}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 25}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 25}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^2 - 1*25), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 25}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 25}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 25}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 25}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 25} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 25}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 25} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 25}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 25} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 25}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 25} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 25}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График