Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 4*x^3-21*x^2+18*x+7
-
x^3-3*x^2-9*x+12
-
sin(2*x)-2*cos(x)
-
8-6*x
- Производная:
-
1/log(x^2)
-
Идентичные выражения
- один /log(x^ два)
- 1 делить на логарифм от (x в квадрате )
- один делить на логарифм от (x в степени два)
- 1/log(x2)
- 1/logx2
- 1/log(x²)
- 1/log(x в степени 2)
- 1/logx^2
- 1 разделить на log(x^2)
График функции y = 1/log(x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
1
f(x) = 1*-------
/ 2\
log\x /
$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}$$
f = 1/log(x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2}{x \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2}{x \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{e^{2}}$$
$$x_{2} = e^{-2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{e^{2}}, e^{-2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{e^{2}}\right] \cup \left[e^{-2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{e^{2}}$$
$$x_{2} = e^{-2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{4}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{e^{2}}, e^{-2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{e^{2}}\right] \cup \left[e^{-2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/log(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}} = 1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}$$
- Да
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}} = - \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}} = 1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}$$
- Да
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}} = - \frac{1}{\log{\left(x^{2} \right)}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График