Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
7+12*x-x^3
-
1/2*x^4-8*x^2
-
2*sin(x/2+pi/6)+1
-
x^3-12*x+5
-
Идентичные выражения
- один / два *x^ четыре - восемь *x^ два
- 1 делить на 2 умножить на x в степени 4 минус 8 умножить на x в квадрате
- один делить на два умножить на x в степени четыре минус восемь умножить на x в степени два
- 1/2*x4-8*x2
- 1/2*x⁴-8*x²
- 1/2*x в степени 4-8*x в степени 2
- 1/2x^4-8x^2
- 1/2x4-8x2
- 1 разделить на 2*x^4-8*x^2
-
Похожие выражения
- (1/2)*x^4-8*x^2
- 1/2*x^4+8*x^2
График функции y = 1/2*x^4-8*x^2
Решение
Вы ввели
[src]
4
x 2
f(x) = -- - 8*x
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}$$
f = x^4/2 - 8*x^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -4$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -4$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x^{3} - 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2}, 0\right] \cup \left[2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2}\right] \cup \left[0, 2 \sqrt{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x^{3} - 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___ (-2*\/ 2, -32)
___ (2*\/ 2, -32)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2}, 0\right] \cup \left[2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2}\right] \cup \left[0, 2 \sqrt{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x^{2} - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x^{2} - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/2 - 8*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2} = \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}$$
- Да
$$\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2} = - \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2} = \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2}$$
- Да
$$\frac{x^{4}}{2} - 8 x^{2} = - \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График