Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*sin(x/2+pi/6)+1
-
x^3-12*x+5
- 3*x-sqrt(6*x-17)
-
x^3-6*x^2+16
- Общий знаменатель:
- 2*sin(x/2+pi/6)+1
-
Идентичные выражения
- два *sin(x/ два +pi/ шесть)+ один
- 2 умножить на синус от (x делить на 2 плюс число пи делить на 6) плюс 1
- два умножить на синус от (x делить на два плюс число пи делить на шесть) плюс один
- 2sin(x/2+pi/6)+1
- 2sinx/2+pi/6+1
- 2*sin(x разделить на 2+pi разделить на 6)+1
-
Похожие выражения
- 2*sin(x/2-pi/6)+1
- 2*sin(x/2+pi/6)-1
График функции y = 2*sin(x/2+pi/6)+1
Решение
Вы ввели
[src]
/x pi\
f(x) = 2*sin|- + --| + 1
\2 6 /
$$f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1$$
f = 2*sin(x/2 + pi/6) + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 45312.2380402768$$
$$x_{2} = 73.3038285837618$$
$$x_{3} = -56.5486677646163$$
$$x_{4} = 94.2477796076938$$
$$x_{5} = -6.28318530717959$$
$$x_{6} = 31.4159265358979$$
$$x_{7} = 85.870199198121$$
$$x_{8} = -14.6607657167524$$
$$x_{9} = -18.8495559215388$$
$$x_{10} = 6.28318530717959$$
$$x_{11} = -94.2477796076938$$
$$x_{12} = 23.0383461263252$$
$$x_{13} = -31.4159265358979$$
$$x_{14} = -39.7935069454707$$
$$x_{15} = 10.471975511966$$
$$x_{16} = -64.9262481741891$$
$$x_{17} = -77.4926187885482$$
$$x_{18} = -43.9822971502571$$
$$x_{19} = 48.1710873550435$$
$$x_{20} = -69.1150383789755$$
$$x_{21} = -102.625360017267$$
$$x_{22} = 81.6814089933346$$
$$x_{23} = 182.212373908208$$
$$x_{24} = -1024.15920507027$$
$$x_{25} = -81.6814089933346$$
$$x_{26} = -90.0589894029074$$
$$x_{27} = 18.8495559215388$$
$$x_{28} = 60.7374579694027$$
$$x_{29} = 35.6047167406843$$
$$x_{30} = -2.0943951023932$$
$$x_{31} = -27.2271363311115$$
$$x_{32} = 98.4365698124802$$
$$x_{33} = 43.9822971502571$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = -52.3598775598299$$
$$x_{36} = 69.1150383789755$$
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 45312.2380402768$$
$$x_{2} = 73.3038285837618$$
$$x_{3} = -56.5486677646163$$
$$x_{4} = 94.2477796076938$$
$$x_{5} = -6.28318530717959$$
$$x_{6} = 31.4159265358979$$
$$x_{7} = 85.870199198121$$
$$x_{8} = -14.6607657167524$$
$$x_{9} = -18.8495559215388$$
$$x_{10} = 6.28318530717959$$
$$x_{11} = -94.2477796076938$$
$$x_{12} = 23.0383461263252$$
$$x_{13} = -31.4159265358979$$
$$x_{14} = -39.7935069454707$$
$$x_{15} = 10.471975511966$$
$$x_{16} = -64.9262481741891$$
$$x_{17} = -77.4926187885482$$
$$x_{18} = -43.9822971502571$$
$$x_{19} = 48.1710873550435$$
$$x_{20} = -69.1150383789755$$
$$x_{21} = -102.625360017267$$
$$x_{22} = 81.6814089933346$$
$$x_{23} = 182.212373908208$$
$$x_{24} = -1024.15920507027$$
$$x_{25} = -81.6814089933346$$
$$x_{26} = -90.0589894029074$$
$$x_{27} = 18.8495559215388$$
$$x_{28} = 60.7374579694027$$
$$x_{29} = 35.6047167406843$$
$$x_{30} = -2.0943951023932$$
$$x_{31} = -27.2271363311115$$
$$x_{32} = 98.4365698124802$$
$$x_{33} = 43.9822971502571$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = -52.3598775598299$$
$$x_{36} = 69.1150383789755$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{8 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{8 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{8 \pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{8 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
2*pi (----, 3) 3
8*pi (----, -1) 3
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{8 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{8 \pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{3 x + \pi}{6} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{3 x + \pi}{6} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sin(x/2 + pi/6) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)} + 1$$
- Нет
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)} + 1$$
- Нет
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График