Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-(1/2)*cos(2*x)+1
-
-2*x^3+3*x^2+12*x+4
-
cos(x-pi)+2
-
x^2-(|x|)
-
Идентичные выражения
- (один / десять)*x^ пять -(пять / шесть)*x^ три + два *x
- (1 делить на 10) умножить на x в степени 5 минус (5 делить на 6) умножить на x в кубе плюс 2 умножить на x
- (один делить на десять) умножить на x в степени пять минус (пять делить на шесть) умножить на x в степени три плюс два умножить на x
- (1/10)*x5-(5/6)*x3+2*x
- 1/10*x5-5/6*x3+2*x
- (1/10)*x⁵-(5/6)*x³+2*x
- (1/10)*x в степени 5-(5/6)*x в степени 3+2*x
- (1/10)x^5-(5/6)x^3+2x
- (1/10)x5-(5/6)x3+2x
- 1/10x5-5/6x3+2x
- 1/10x^5-5/6x^3+2x
- (1 разделить на 10)*x^5-(5 разделить на 6)*x^3+2*x
-
Похожие выражения
- (1/10)*x^5+(5/6)*x^3+2*x
- (1/10)*x^5-(5/6)*x^3-2*x
График функции y = (1/10)*x^5-(5/6)*x^3+2*x
Решение
Вы ввели
[src]
5 3
x 5*x
f(x) = -- - ---- + 2*x
10 6
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x$$
f = x^5/10 - 5*x^3/6 + 2*x
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{4}}{2} - \frac{5 x^{2}}{2} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{4}}{2} - \frac{5 x^{2}}{2} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -8/15)
-19
(-1, ----)
15 19
(1, --)
15 (2, 8/15)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$x \left(2 x^{2} - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{10}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{10}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{10}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$x \left(2 x^{2} - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{10}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{10}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{10}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5/10 - 5*x^3/6 + 2*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x = - \frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{3}}{6} - 2 x$$
- Нет
$$\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x = \frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x = - \frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{3}}{6} - 2 x$$
- Нет
$$\frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x = \frac{x^{5}}{10} - \frac{5 x^{3}}{6} + 2 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График