Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(x^2-x-20)/(x-2)
-
6-2*x^2
-
(|x|)*log(|x|)
-
cos(x)-sin(x)
- Производная:
- (|x|)*log(|x|)
-
Идентичные выражения
- (|x|)*log(|x|)
- ( модуль от x|) умножить на логарифм от (|x|)
- (|x|)log(|x|)
- |x|log|x|
-
Похожие выражения
- |x|*log(|x|)
График функции y = (|x|)*log(|x|)
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = |x|*log(|x|)
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|$$
f = log(|x|)*|x|
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} + \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{-1}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{e}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} + \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:
-1 -1 (-e , -e )
-1 -1 (e , -e )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{-1}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{e}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(\frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) \left|{x}\right| + 2 \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(\frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) \left|{x}\right| + 2 \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x|*log(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|$$
- Да
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = - \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|$$
- Да
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = - \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График