Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^(2/3)
-
-x^4+8*x^2-16
-
cos(x-pi/2)
-
x+3/x-4/x^2
- Производная:
-
-x^4+8*x^2-16
-
Идентичные выражения
- -x^ четыре + восемь *x^ два - шестнадцать
- минус x в степени 4 плюс 8 умножить на x в квадрате минус 16
- минус x в степени четыре плюс восемь умножить на x в степени два минус шестнадцать
- -x4+8*x2-16
- -x⁴+8*x²-16
- -x в степени 4+8*x в степени 2-16
- -x^4+8x^2-16
- -x4+8x2-16
-
Похожие выражения
- x^4+8*x^2-16
- (-x)^4+8*x^2-16
- -x^4-8*x^2-16
- -x^4+8*x^2+16
График функции y = -x^4+8*x^2-16
Решение
Вы ввели
[src]
4 2 f(x) = - x + 8*x - 16
$$f{\left(x \right)} = - x^{4} + 8 x^{2} - 16$$
f = -x^4 + 8*x^2 - 1*16
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{4} + 8 x^{2} - 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
значит надо решить уравнение:
$$- x^{4} + 8 x^{2} - 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 x^{3} + 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 x^{3} + 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -16 + 16)
(0, -1*16)
(2, -16 + 16)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(- 3 x^{2} + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(- 3 x^{2} + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + 8 x^{2} - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{4} + 8 x^{2} - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + 8 x^{2} - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{4} + 8 x^{2} - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^4 + 8*x^2 - 1*16, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + 8 x^{2} - 16}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + 8 x^{2} - 16}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + 8 x^{2} - 16}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + 8 x^{2} - 16}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{4} + 8 x^{2} - 16 = - x^{4} + 8 x^{2} - 16$$
- Да
$$- x^{4} + 8 x^{2} - 16 = x^{4} - 8 x^{2} + 16$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$- x^{4} + 8 x^{2} - 16 = - x^{4} + 8 x^{2} - 16$$
- Да
$$- x^{4} + 8 x^{2} - 16 = x^{4} - 8 x^{2} + 16$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График