Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x^2+x+677)/(x-5)
- (3-x^2)^2
-
log(x^2/(2-x))
-
x^3+6*x^2+9*x+3
- Производная:
-
log(x^2/(2-x))
-
Идентичные выражения
- log(x^ два /(два -x))
- логарифм от (x в квадрате делить на (2 минус x))
- логарифм от (x в степени два делить на (два минус x))
- log(x2/(2-x))
- logx2/2-x
- log(x²/(2-x))
- log(x в степени 2/(2-x))
- logx^2/2-x
- log(x^2 разделить на (2-x))
-
Похожие выражения
- log(x^2/(2+x))
-
Что Вы имели ввиду?
- log(x^2/(2 - x))
- log(x^2/2 - x)
- log(x*2/(2 - x))
- log(x*2/2 - x)
- log(x^2/(2 - x))
- log(x^2/2 - x)
- log(x^2/2 - x)
Вы ввели:
log(x^2/(2-x))
Что Вы имели ввиду?
График функции y = log(x^2/(2-x))
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2 \
| x |
f(x) = log|-----|
\2 - x/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)}$$
f = log(x^2/(2 - x))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- x + 2\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(- x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{- x + 2}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- x + 2\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(- x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{- x + 2}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(4, log(8) + I*pi)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 2\right)}{x} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{x}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} + 4$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2} + 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 2\right)}{x} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 2\right)}{x} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2} + 4, 2 \sqrt{2} + 4\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} + 4\right] \cup \left[2 \sqrt{2} + 4, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 2\right)}{x} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{x}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} + 4$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2} + 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 2\right)}{x} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 2\right)}{x} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2} + 4, 2 \sqrt{2} + 4\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} + 4\right] \cup \left[2 \sqrt{2} + 4, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x^2/(2 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = \log{\left(\frac{x^{2}}{x + 2} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = - \log{\left(\frac{x^{2}}{x + 2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = \log{\left(\frac{x^{2}}{x + 2} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{- x + 2} \right)} = - \log{\left(\frac{x^{2}}{x + 2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График