Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^4-6*x^2+9
-
log(x)/x^3
-
tan(3*x)
-
-12*x^2+2*x^3
- Интеграл d{x}:
- log(x)/x^3
- Предел функции:
-
log(x)/x^3
- Производная:
-
log(x)/x^3
-
Идентичные выражения
- log(x)/x^ три
- логарифм от (x) делить на x в кубе
- логарифм от (x) делить на x в степени три
- log(x)/x3
- logx/x3
- log(x)/x³
- log(x)/x в степени 3
- logx/x^3
- log(x) разделить на x^3
График функции y = log(x)/x^3
Решение
Вы ввели
[src]
log(x)
f(x) = ------
3
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}$$
f = log(x)/(x^3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 38962.5292646053$$
$$x_{2} = 51648.7335013236$$
$$x_{3} = 49541.1279519006$$
$$x_{4} = 41084.232681033$$
$$x_{5} = 31507.8906383604$$
$$x_{6} = 45318.2910228145$$
$$x_{7} = 27224.1851278313$$
$$x_{8} = 36837.4133555611$$
$$x_{9} = 54805.7513744735$$
$$x_{10} = 22918.5159269795$$
$$x_{11} = 43202.7524097009$$
$$x_{12} = 29368.5106906478$$
$$x_{13} = 37900.4133297314$$
$$x_{14} = 26150.0094308108$$
$$x_{15} = 47431.0289814946$$
$$x_{16} = 30438.7898799451$$
$$x_{17} = 25074.3951775674$$
$$x_{18} = 20755.7822635151$$
$$x_{19} = 33642.761660559$$
$$x_{20} = 28296.9963675366$$
$$x_{21} = 42143.8772835132$$
$$x_{22} = 48486.39889297$$
$$x_{23} = 23997.2607605555$$
$$x_{24} = 53753.9773110992$$
$$x_{25} = 46374.9995735621$$
$$x_{26} = 50595.2338718172$$
$$x_{27} = 32575.8651669921$$
$$x_{28} = 44260.8826009333$$
$$x_{29} = 40023.7925644568$$
$$x_{30} = 21838.0604095039$$
$$x_{31} = 52701.6428836723$$
$$x_{32} = 34708.624734302$$
$$x_{33} = 35773.4957936157$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 38962.5292646053$$
$$x_{2} = 51648.7335013236$$
$$x_{3} = 49541.1279519006$$
$$x_{4} = 41084.232681033$$
$$x_{5} = 31507.8906383604$$
$$x_{6} = 45318.2910228145$$
$$x_{7} = 27224.1851278313$$
$$x_{8} = 36837.4133555611$$
$$x_{9} = 54805.7513744735$$
$$x_{10} = 22918.5159269795$$
$$x_{11} = 43202.7524097009$$
$$x_{12} = 29368.5106906478$$
$$x_{13} = 37900.4133297314$$
$$x_{14} = 26150.0094308108$$
$$x_{15} = 47431.0289814946$$
$$x_{16} = 30438.7898799451$$
$$x_{17} = 25074.3951775674$$
$$x_{18} = 20755.7822635151$$
$$x_{19} = 33642.761660559$$
$$x_{20} = 28296.9963675366$$
$$x_{21} = 42143.8772835132$$
$$x_{22} = 48486.39889297$$
$$x_{23} = 23997.2607605555$$
$$x_{24} = 53753.9773110992$$
$$x_{25} = 46374.9995735621$$
$$x_{26} = 50595.2338718172$$
$$x_{27} = 32575.8651669921$$
$$x_{28} = 44260.8826009333$$
$$x_{29} = 40023.7925644568$$
$$x_{30} = 21838.0604095039$$
$$x_{31} = 52701.6428836723$$
$$x_{32} = 34708.624734302$$
$$x_{33} = 35773.4957936157$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{x x^{3}} - \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{3}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e^{\frac{1}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{x x^{3}} - \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:
-1
1/3 e
(e , ---)
3 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{3}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e^{\frac{1}{3}}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{7}{12}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{\frac{7}{12}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{7}{12}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{7}{12}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{\frac{7}{12}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{7}{12}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3}}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3}}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График