Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
1/4*x^4+1
-
(17/5)*x-(136/5)
-
log(sin(2*x))
- x/x
- Производная:
- log(sin(2*x))
- Предел функции:
-
log(sin(2*x))
-
Идентичные выражения
- log(sin(два *x))
- логарифм от ( синус от (2 умножить на x))
- логарифм от ( синус от (два умножить на x))
- log(sin(2x))
- logsin2x
График функции y = log(sin(2*x))
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = log(sin(2*x))
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
f = log(sin(2*x))
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 63.6172513875476$$
$$x_{2} = -90.3207885389072$$
$$x_{3} = -11.7809724257948$$
$$x_{4} = -71.4712330461758$$
$$x_{5} = -30.6305282661788$$
$$x_{6} = 13.3517688645279$$
$$x_{7} = -68.3296399553231$$
$$x_{8} = -99.7455667547355$$
$$x_{9} = 95.0331777179118$$
$$x_{10} = 19.6349543819721$$
$$x_{11} = -96.6039739559747$$
$$x_{12} = 32.2013247417691$$
$$x_{13} = 76.1836219131927$$
$$x_{14} = -46.3384913714682$$
$$x_{15} = -77.7544181730301$$
$$x_{16} = -55.7632695910201$$
$$x_{17} = 10.2101761576226$$
$$x_{18} = -43.1968995340404$$
$$x_{19} = 41.626102967176$$
$$x_{20} = -27.4889358835962$$
$$x_{21} = -24.3473429121703$$
$$x_{22} = -36.913713705128$$
$$x_{23} = 88.7499920288149$$
$$x_{24} = 7.06858343804735$$
$$x_{25} = -80.8960108501414$$
$$x_{26} = 60.4756584404036$$
$$x_{27} = 19.6349542219768$$
$$x_{28} = -21.2057509388998$$
$$x_{29} = -46.3384914667097$$
$$x_{30} = -90.3207885667737$$
$$x_{31} = 101.316363133436$$
$$x_{32} = 85.6083999759345$$
$$x_{33} = -58.9048622774175$$
$$x_{34} = 82.4668070212032$$
$$x_{35} = 38.4845098595305$$
$$x_{36} = 54.1924733268578$$
$$x_{37} = -65.1880480940584$$
$$x_{38} = 73.0420291488641$$
$$x_{39} = -87.1791966632561$$
$$x_{40} = 91.8915852088319$$
$$x_{41} = -21.2057509438116$$
$$x_{42} = 51.050880579168$$
$$x_{43} = 88.7499920494577$$
$$x_{44} = 35.3429174309151$$
$$x_{45} = -84.037603445771$$
$$x_{46} = -65.1880481260875$$
$$x_{47} = -93.4623816276377$$
$$x_{48} = 79.3252145654271$$
$$x_{49} = -14.9225651332982$$
$$x_{50} = 0.785397646574324$$
$$x_{51} = 69.9004366275059$$
$$x_{52} = 41.6261028017815$$
$$x_{53} = 3.92699088294281$$
$$x_{54} = 85.6084001388891$$
$$x_{55} = 66.7588434284482$$
$$x_{56} = 44.7676948308653$$
$$x_{57} = 66.7588434563604$$
$$x_{58} = -40.0553062808898$$
$$x_{59} = -24.3473427873187$$
$$x_{60} = 16.4933612785775$$
$$x_{61} = -52.6216768303535$$
$$x_{62} = -49.4800844648314$$
$$x_{63} = -62.0464548631693$$
$$x_{64} = 25.9181394645877$$
$$x_{65} = 22.7765462366951$$
$$x_{66} = -5.49778730246239$$
$$x_{67} = -2.35619420284847$$
$$x_{68} = 29.0597320088809$$
$$x_{69} = -18.0641576988693$$
$$x_{70} = -74.6128253936431$$
$$x_{71} = 57.3340659979018$$
$$x_{72} = 44.76769486085$$
$$x_{73} = -43.1968995192262$$
$$x_{74} = -87.1791967194208$$
$$x_{75} = 98.1747705012261$$
$$x_{76} = -2.35619434960794$$
$$x_{77} = 22.7765462611126$$
$$x_{78} = -8.63937970119372$$
$$x_{79} = -33.7721210086374$$
$$x_{80} = 47.9092880460992$$
$$x_{81} = 63.6172515528007$$
$$x_{82} = -68.3296400163916$$
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 63.6172513875476$$
$$x_{2} = -90.3207885389072$$
$$x_{3} = -11.7809724257948$$
$$x_{4} = -71.4712330461758$$
$$x_{5} = -30.6305282661788$$
$$x_{6} = 13.3517688645279$$
$$x_{7} = -68.3296399553231$$
$$x_{8} = -99.7455667547355$$
$$x_{9} = 95.0331777179118$$
$$x_{10} = 19.6349543819721$$
$$x_{11} = -96.6039739559747$$
$$x_{12} = 32.2013247417691$$
$$x_{13} = 76.1836219131927$$
$$x_{14} = -46.3384913714682$$
$$x_{15} = -77.7544181730301$$
$$x_{16} = -55.7632695910201$$
$$x_{17} = 10.2101761576226$$
$$x_{18} = -43.1968995340404$$
$$x_{19} = 41.626102967176$$
$$x_{20} = -27.4889358835962$$
$$x_{21} = -24.3473429121703$$
$$x_{22} = -36.913713705128$$
$$x_{23} = 88.7499920288149$$
$$x_{24} = 7.06858343804735$$
$$x_{25} = -80.8960108501414$$
$$x_{26} = 60.4756584404036$$
$$x_{27} = 19.6349542219768$$
$$x_{28} = -21.2057509388998$$
$$x_{29} = -46.3384914667097$$
$$x_{30} = -90.3207885667737$$
$$x_{31} = 101.316363133436$$
$$x_{32} = 85.6083999759345$$
$$x_{33} = -58.9048622774175$$
$$x_{34} = 82.4668070212032$$
$$x_{35} = 38.4845098595305$$
$$x_{36} = 54.1924733268578$$
$$x_{37} = -65.1880480940584$$
$$x_{38} = 73.0420291488641$$
$$x_{39} = -87.1791966632561$$
$$x_{40} = 91.8915852088319$$
$$x_{41} = -21.2057509438116$$
$$x_{42} = 51.050880579168$$
$$x_{43} = 88.7499920494577$$
$$x_{44} = 35.3429174309151$$
$$x_{45} = -84.037603445771$$
$$x_{46} = -65.1880481260875$$
$$x_{47} = -93.4623816276377$$
$$x_{48} = 79.3252145654271$$
$$x_{49} = -14.9225651332982$$
$$x_{50} = 0.785397646574324$$
$$x_{51} = 69.9004366275059$$
$$x_{52} = 41.6261028017815$$
$$x_{53} = 3.92699088294281$$
$$x_{54} = 85.6084001388891$$
$$x_{55} = 66.7588434284482$$
$$x_{56} = 44.7676948308653$$
$$x_{57} = 66.7588434563604$$
$$x_{58} = -40.0553062808898$$
$$x_{59} = -24.3473427873187$$
$$x_{60} = 16.4933612785775$$
$$x_{61} = -52.6216768303535$$
$$x_{62} = -49.4800844648314$$
$$x_{63} = -62.0464548631693$$
$$x_{64} = 25.9181394645877$$
$$x_{65} = 22.7765462366951$$
$$x_{66} = -5.49778730246239$$
$$x_{67} = -2.35619420284847$$
$$x_{68} = 29.0597320088809$$
$$x_{69} = -18.0641576988693$$
$$x_{70} = -74.6128253936431$$
$$x_{71} = 57.3340659979018$$
$$x_{72} = 44.76769486085$$
$$x_{73} = -43.1968995192262$$
$$x_{74} = -87.1791967194208$$
$$x_{75} = 98.1747705012261$$
$$x_{76} = -2.35619434960794$$
$$x_{77} = 22.7765462611126$$
$$x_{78} = -8.63937970119372$$
$$x_{79} = -33.7721210086374$$
$$x_{80} = 47.9092880460992$$
$$x_{81} = 63.6172515528007$$
$$x_{82} = -68.3296400163916$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi (--, 0) 4
3*pi (----, I*pi) 4
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 4 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 4 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(2*x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(2 x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График