Господин Экзамен

Другие калькуляторы

log(1+exp(-x))
Построение графика функции/ log(1+exp(-x))

График функции y = log(1+exp(-x))

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
          /     -x\
f(x) = log\1 + e  /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(1 + e^{- x} \right)}$$ 
f = log(1 + exp(-x))
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(1 + e^{- x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(1 + exp(-x)).
$$\log{\left(1 + e^{\left(-1\right) 0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(2 \right)}$$
Точка:
(0, log(2))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(1 - \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}\right) e^{- x}}{1 + e^{- x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(1 + e^{- x} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(1 + e^{- x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1 + exp(-x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 + e^{- x} \right)}}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + e^{- x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(1 + e^{- x} \right)} = \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(1 + e^{- x} \right)} = - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = log(1+exp(-x))
    © Господин Экзамен – Калькулятор