График функции y = sqrt(x^3-x)

Вы ввели [src]

          ________
         /  3     
f(x) = \/  x  - x

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} - x}$$

f = sqrt(x^3 - x)

График функции

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x^{3} - x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{i}}{3} + \frac{\sqrt{3} i^{\frac{5}{3}}}{3}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x^3 - x).
$$\sqrt{0^{3} - 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{x^{3} - x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___    3/4   ___ 
 -\/ 3    3   *\/ 6  
(-------, ----------)
    3         9

   ___   3/4   ___   
 \/ 3   3   *\/ 6 *I 
(-----, ------------)
   3         9

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{3 x - \frac{\left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{4 x \left(x^{2} - 1\right)}}{\sqrt{x \left(x^{2} - 1\right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \sqrt{1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{3} - x} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{3} - x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x^3 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{3} - x}}{x}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{3} - x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x^{3} - x} = \sqrt{- x^{3} + x}$$
- Нет
$$\sqrt{x^{3} - x} = - \sqrt{- x^{3} + x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = sqrt(x^3-x)

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение