Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-9*x^3+3*x^2+9
-
(2-3*x)/x^2
-
x^4-4*x^2+3
- sqrt((9-x^2)*(x^2-4))
- Производная:
-
cos(y)
- Интеграл d{x}:
-
cos(y)
-
Идентичные выражения
- cos(y)
- косинус от (y)
- cosy
График функции y = cos(y)
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:
Аналитическое решение
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$y_{1} = 48.6946861306418$$
$$y_{2} = -54.9778714378214$$
$$y_{3} = 92.6769832808989$$
$$y_{4} = -2266.65909956504$$
$$y_{5} = 7.85398163397448$$
$$y_{6} = 10.9955742875643$$
$$y_{7} = 1.5707963267949$$
$$y_{8} = -67.5442420521806$$
$$y_{9} = 26.7035375555132$$
$$y_{10} = -58.1194640914112$$
$$y_{11} = -45.553093477052$$
$$y_{12} = -36.1283155162826$$
$$y_{13} = -4.71238898038469$$
$$y_{14} = 64.4026493985908$$
$$y_{15} = -95.8185759344887$$
$$y_{16} = -7.85398163397448$$
$$y_{17} = -20.4203522483337$$
$$y_{18} = 45.553093477052$$
$$y_{19} = -168.075206967054$$
$$y_{20} = 89.5353906273091$$
$$y_{21} = 73.8274273593601$$
$$y_{22} = 61.261056745001$$
$$y_{23} = -76.9690200129499$$
$$y_{24} = 70.6858347057703$$
$$y_{25} = -89.5353906273091$$
$$y_{26} = 67.5442420521806$$
$$y_{27} = -48.6946861306418$$
$$y_{28} = 4.71238898038469$$
$$y_{29} = 36.1283155162826$$
$$y_{30} = -70.6858347057703$$
$$y_{31} = -42.4115008234622$$
$$y_{32} = 76.9690200129499$$
$$y_{33} = -51.8362787842316$$
$$y_{34} = -39.2699081698724$$
$$y_{35} = 54.9778714378214$$
$$y_{36} = -80.1106126665397$$
$$y_{37} = -64.4026493985908$$
$$y_{38} = 42.4115008234622$$
$$y_{39} = -10.9955742875643$$
$$y_{40} = 39.2699081698724$$
$$y_{41} = -61.261056745001$$
$$y_{42} = 20.4203522483337$$
$$y_{43} = -387.986692718339$$
$$y_{44} = 58.1194640914112$$
$$y_{45} = -14.1371669411541$$
$$y_{46} = 51.8362787842316$$
$$y_{47} = 95.8185759344887$$
$$y_{48} = 32.9867228626928$$
$$y_{49} = 98.9601685880785$$
$$y_{50} = -26.7035375555132$$
$$y_{51} = 29.845130209103$$
$$y_{52} = -29.845130209103$$
$$y_{53} = -86.3937979737193$$
$$y_{54} = -32.9867228626928$$
$$y_{55} = 80.1106126665397$$
$$y_{56} = -83.2522053201295$$
$$y_{57} = 86.3937979737193$$
$$y_{58} = 23.5619449019235$$
$$y_{59} = -1.5707963267949$$
$$y_{60} = -17.2787595947439$$
$$y_{61} = 14.1371669411541$$
$$y_{62} = -98.9601685880785$$
$$y_{63} = -23.5619449019235$$
$$y_{64} = -73.8274273593601$$
$$y_{65} = 17.2787595947439$$
$$y_{66} = 83.2522053201295$$
$$y_{67} = -92.6769832808989$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:
Аналитическое решение
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$y_{1} = 48.6946861306418$$
$$y_{2} = -54.9778714378214$$
$$y_{3} = 92.6769832808989$$
$$y_{4} = -2266.65909956504$$
$$y_{5} = 7.85398163397448$$
$$y_{6} = 10.9955742875643$$
$$y_{7} = 1.5707963267949$$
$$y_{8} = -67.5442420521806$$
$$y_{9} = 26.7035375555132$$
$$y_{10} = -58.1194640914112$$
$$y_{11} = -45.553093477052$$
$$y_{12} = -36.1283155162826$$
$$y_{13} = -4.71238898038469$$
$$y_{14} = 64.4026493985908$$
$$y_{15} = -95.8185759344887$$
$$y_{16} = -7.85398163397448$$
$$y_{17} = -20.4203522483337$$
$$y_{18} = 45.553093477052$$
$$y_{19} = -168.075206967054$$
$$y_{20} = 89.5353906273091$$
$$y_{21} = 73.8274273593601$$
$$y_{22} = 61.261056745001$$
$$y_{23} = -76.9690200129499$$
$$y_{24} = 70.6858347057703$$
$$y_{25} = -89.5353906273091$$
$$y_{26} = 67.5442420521806$$
$$y_{27} = -48.6946861306418$$
$$y_{28} = 4.71238898038469$$
$$y_{29} = 36.1283155162826$$
$$y_{30} = -70.6858347057703$$
$$y_{31} = -42.4115008234622$$
$$y_{32} = 76.9690200129499$$
$$y_{33} = -51.8362787842316$$
$$y_{34} = -39.2699081698724$$
$$y_{35} = 54.9778714378214$$
$$y_{36} = -80.1106126665397$$
$$y_{37} = -64.4026493985908$$
$$y_{38} = 42.4115008234622$$
$$y_{39} = -10.9955742875643$$
$$y_{40} = 39.2699081698724$$
$$y_{41} = -61.261056745001$$
$$y_{42} = 20.4203522483337$$
$$y_{43} = -387.986692718339$$
$$y_{44} = 58.1194640914112$$
$$y_{45} = -14.1371669411541$$
$$y_{46} = 51.8362787842316$$
$$y_{47} = 95.8185759344887$$
$$y_{48} = 32.9867228626928$$
$$y_{49} = 98.9601685880785$$
$$y_{50} = -26.7035375555132$$
$$y_{51} = 29.845130209103$$
$$y_{52} = -29.845130209103$$
$$y_{53} = -86.3937979737193$$
$$y_{54} = -32.9867228626928$$
$$y_{55} = 80.1106126665397$$
$$y_{56} = -83.2522053201295$$
$$y_{57} = 86.3937979737193$$
$$y_{58} = 23.5619449019235$$
$$y_{59} = -1.5707963267949$$
$$y_{60} = -17.2787595947439$$
$$y_{61} = 14.1371669411541$$
$$y_{62} = -98.9601685880785$$
$$y_{63} = -23.5619449019235$$
$$y_{64} = -73.8274273593601$$
$$y_{65} = 17.2787595947439$$
$$y_{66} = 83.2522053201295$$
$$y_{67} = -92.6769832808989$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$y_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
(pi, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$y_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \cos{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{y \to \infty} \cos{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{y \to -\infty} \cos{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{y \to \infty} \cos{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(y), делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(y \right)}}{y}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(y \right)}}{y}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(y \right)}}{y}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(y \right)}}{y}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(y \right)} = - \cos{\left(y \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(y \right)} = - \cos{\left(y \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График