Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
-
Идентичные выражения
- cos(x)*(один - четыре *(sin(x))^ два)
- косинус от (x) умножить на (1 минус 4 умножить на ( синус от (x)) в квадрате )
- косинус от (x) умножить на (один минус четыре умножить на ( синус от (x)) в степени два)
- cos(x)*(1-4*(sin(x))2)
- cosx*1-4*sinx2
- cos(x)*(1-4*(sin(x))²)
- cos(x)*(1-4*(sin(x)) в степени 2)
- cos(x)(1-4(sin(x))^2)
- cos(x)(1-4(sin(x))2)
- cosx1-4sinx2
- cosx1-4sinx^2
-
Похожие выражения
- cos(x)*(1+4*(sin(x))^2)
- cosx*(1-4*(sinx)^2)
График функции y = cos(x)*(1-4*(sin(x))^2)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2 \ f(x) = cos(x)*\1 - 4*sin (x)/
$$f{\left(x \right)} = \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$$
f = (1 - 4*sin(x)^2)*cos(x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{5} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -27.7507351067098$$
$$x_{2} = -5.75958653158129$$
$$x_{3} = -58.1194640914112$$
$$x_{4} = 84.2994028713261$$
$$x_{5} = -91.6297857297023$$
$$x_{6} = 5.75958653158129$$
$$x_{7} = -69.6386371545737$$
$$x_{8} = 36.1283155162826$$
$$x_{9} = 73.8274273593601$$
$$x_{10} = -51.8362787842316$$
$$x_{11} = -78.0162175641465$$
$$x_{12} = 66.497044500984$$
$$x_{13} = -84.2994028713261$$
$$x_{14} = -9.94837673636768$$
$$x_{15} = 71.733032256967$$
$$x_{16} = -67.5442420521806$$
$$x_{17} = 1.5707963267949$$
$$x_{18} = 44.5058959258554$$
$$x_{19} = -98.9601685880785$$
$$x_{20} = 56.025068989018$$
$$x_{21} = -100.007366139275$$
$$x_{22} = -45.553093477052$$
$$x_{23} = 97.9129710368819$$
$$x_{24} = -38.2227106186758$$
$$x_{25} = 78.0162175641465$$
$$x_{26} = 41.3643032722656$$
$$x_{27} = 64.4026493985908$$
$$x_{28} = 68.5914396033772$$
$$x_{29} = -53.9306738866248$$
$$x_{30} = -16.2315620435473$$
$$x_{31} = 40.317105721069$$
$$x_{32} = -56.025068989018$$
$$x_{33} = 58.1194640914112$$
$$x_{34} = -97.9129710368819$$
$$x_{35} = 80.1106126665397$$
$$x_{36} = 27.7507351067098$$
$$x_{37} = 9.94837673636768$$
$$x_{38} = 51.8362787842316$$
$$x_{39} = -43.4586983746588$$
$$x_{40} = 86.3937979737193$$
$$x_{41} = -80.1106126665397$$
$$x_{42} = 12.0427718387609$$
$$x_{43} = -75.9218224617533$$
$$x_{44} = 14.1371669411541$$
$$x_{45} = 0.523598775598299$$
$$x_{46} = 95.8185759344887$$
$$x_{47} = -12.0427718387609$$
$$x_{48} = -25.6563400043166$$
$$x_{49} = 7.85398163397448$$
$$x_{50} = 49.7418836818384$$
$$x_{51} = -19.3731546971371$$
$$x_{52} = 4.71238898038469$$
$$x_{53} = -93.7241808320955$$
$$x_{54} = 82.2050077689329$$
$$x_{55} = -71.733032256967$$
$$x_{56} = 18.3259571459405$$
$$x_{57} = -31.9395253114962$$
$$x_{58} = -47.6474885794452$$
$$x_{59} = -89.5353906273091$$
$$x_{60} = -95.8185759344887$$
$$x_{61} = 16.2315620435473$$
$$x_{62} = -36.1283155162826$$
$$x_{63} = 53.9306738866248$$
$$x_{64} = -3.66519142918809$$
$$x_{65} = -65.4498469497874$$
$$x_{66} = 88.4881930761125$$
$$x_{67} = -14.1371669411541$$
$$x_{68} = -62.3082542961976$$
$$x_{69} = 87.4409955249159$$
$$x_{70} = -60.2138591938044$$
$$x_{71} = 34.0339204138894$$
$$x_{72} = -34.0339204138894$$
$$x_{73} = -23.5619449019235$$
$$x_{74} = -21.4675497995303$$
$$x_{75} = -73.8274273593601$$
$$x_{76} = 29.845130209103$$
$$x_{77} = -49.7418836818384$$
$$x_{78} = -82.2050077689329$$
$$x_{79} = 91.6297857297023$$
$$x_{80} = 15.1843644923507$$
$$x_{81} = 100.007366139275$$
$$x_{82} = -1.5707963267949$$
$$x_{83} = 60.2138591938044$$
$$x_{84} = 42.4115008234622$$
$$x_{85} = 38.2227106186758$$
$$x_{86} = 31.9395253114962$$
$$x_{87} = 62.3082542961976$$
$$x_{88} = 20.4203522483337$$
$$x_{89} = -29.845130209103$$
$$x_{90} = 75.9218224617533$$
$$x_{91} = -61.261056745001$$
$$x_{92} = 26.7035375555132$$
$$x_{93} = -7.85398163397448$$
$$x_{94} = 93.7241808320955$$
$$x_{95} = 22.5147473507269$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{5} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -27.7507351067098$$
$$x_{2} = -5.75958653158129$$
$$x_{3} = -58.1194640914112$$
$$x_{4} = 84.2994028713261$$
$$x_{5} = -91.6297857297023$$
$$x_{6} = 5.75958653158129$$
$$x_{7} = -69.6386371545737$$
$$x_{8} = 36.1283155162826$$
$$x_{9} = 73.8274273593601$$
$$x_{10} = -51.8362787842316$$
$$x_{11} = -78.0162175641465$$
$$x_{12} = 66.497044500984$$
$$x_{13} = -84.2994028713261$$
$$x_{14} = -9.94837673636768$$
$$x_{15} = 71.733032256967$$
$$x_{16} = -67.5442420521806$$
$$x_{17} = 1.5707963267949$$
$$x_{18} = 44.5058959258554$$
$$x_{19} = -98.9601685880785$$
$$x_{20} = 56.025068989018$$
$$x_{21} = -100.007366139275$$
$$x_{22} = -45.553093477052$$
$$x_{23} = 97.9129710368819$$
$$x_{24} = -38.2227106186758$$
$$x_{25} = 78.0162175641465$$
$$x_{26} = 41.3643032722656$$
$$x_{27} = 64.4026493985908$$
$$x_{28} = 68.5914396033772$$
$$x_{29} = -53.9306738866248$$
$$x_{30} = -16.2315620435473$$
$$x_{31} = 40.317105721069$$
$$x_{32} = -56.025068989018$$
$$x_{33} = 58.1194640914112$$
$$x_{34} = -97.9129710368819$$
$$x_{35} = 80.1106126665397$$
$$x_{36} = 27.7507351067098$$
$$x_{37} = 9.94837673636768$$
$$x_{38} = 51.8362787842316$$
$$x_{39} = -43.4586983746588$$
$$x_{40} = 86.3937979737193$$
$$x_{41} = -80.1106126665397$$
$$x_{42} = 12.0427718387609$$
$$x_{43} = -75.9218224617533$$
$$x_{44} = 14.1371669411541$$
$$x_{45} = 0.523598775598299$$
$$x_{46} = 95.8185759344887$$
$$x_{47} = -12.0427718387609$$
$$x_{48} = -25.6563400043166$$
$$x_{49} = 7.85398163397448$$
$$x_{50} = 49.7418836818384$$
$$x_{51} = -19.3731546971371$$
$$x_{52} = 4.71238898038469$$
$$x_{53} = -93.7241808320955$$
$$x_{54} = 82.2050077689329$$
$$x_{55} = -71.733032256967$$
$$x_{56} = 18.3259571459405$$
$$x_{57} = -31.9395253114962$$
$$x_{58} = -47.6474885794452$$
$$x_{59} = -89.5353906273091$$
$$x_{60} = -95.8185759344887$$
$$x_{61} = 16.2315620435473$$
$$x_{62} = -36.1283155162826$$
$$x_{63} = 53.9306738866248$$
$$x_{64} = -3.66519142918809$$
$$x_{65} = -65.4498469497874$$
$$x_{66} = 88.4881930761125$$
$$x_{67} = -14.1371669411541$$
$$x_{68} = -62.3082542961976$$
$$x_{69} = 87.4409955249159$$
$$x_{70} = -60.2138591938044$$
$$x_{71} = 34.0339204138894$$
$$x_{72} = -34.0339204138894$$
$$x_{73} = -23.5619449019235$$
$$x_{74} = -21.4675497995303$$
$$x_{75} = -73.8274273593601$$
$$x_{76} = 29.845130209103$$
$$x_{77} = -49.7418836818384$$
$$x_{78} = -82.2050077689329$$
$$x_{79} = 91.6297857297023$$
$$x_{80} = 15.1843644923507$$
$$x_{81} = 100.007366139275$$
$$x_{82} = -1.5707963267949$$
$$x_{83} = 60.2138591938044$$
$$x_{84} = 42.4115008234622$$
$$x_{85} = 38.2227106186758$$
$$x_{86} = 31.9395253114962$$
$$x_{87} = 62.3082542961976$$
$$x_{88} = 20.4203522483337$$
$$x_{89} = -29.845130209103$$
$$x_{90} = 75.9218224617533$$
$$x_{91} = -61.261056745001$$
$$x_{92} = 26.7035375555132$$
$$x_{93} = -7.85398163397448$$
$$x_{94} = 93.7241808320955$$
$$x_{95} = 22.5147473507269$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
-2*pi (------, 1) 3
-pi (----, -1) 3
pi (--, -1) 3
2*pi (----, 1) 3
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(28 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(28 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)*(1 - 4*sin(x)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = - \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = - \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График