Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(x^2-x+1)/(x-1)
- 1/(sqrt(x^2-1))
- (x^4)/((x^3)-1)
-
(x^2)/4+x/16+1/4
-
Идентичные выражения
- cos(x)+sin(два *x)
- косинус от (x) плюс синус от (2 умножить на x)
- косинус от (x) плюс синус от (два умножить на x)
- cos(x)+sin(2x)
- cosx+sin2x
-
Похожие выражения
- cos(x)-sin(2*x)
- cosx+sin(2*x)
График функции y = cos(x)+sin(2*x)
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = cos(x) + sin(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
f = sin(2*x) + cos(x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -27.7507351067098$$
$$x_{2} = -58.1194640914112$$
$$x_{3} = -40.317105721069$$
$$x_{4} = 5.75958653158129$$
$$x_{5} = 37.1755130674792$$
$$x_{6} = -15.1843644923507$$
$$x_{7} = -17.2787595947439$$
$$x_{8} = 45.553093477052$$
$$x_{9} = -69.6386371545737$$
$$x_{10} = 36.1283155162826$$
$$x_{11} = 73.8274273593601$$
$$x_{12} = -63.3554518473942$$
$$x_{13} = -51.8362787842316$$
$$x_{14} = -78.0162175641465$$
$$x_{15} = 66.497044500984$$
$$x_{16} = -84.2994028713261$$
$$x_{17} = -67.5442420521806$$
$$x_{18} = 1.5707963267949$$
$$x_{19} = -59.1666616426078$$
$$x_{20} = 56.025068989018$$
$$x_{21} = -64.4026493985908$$
$$x_{22} = 28.7979326579064$$
$$x_{23} = -45.553093477052$$
$$x_{24} = 97.9129710368819$$
$$x_{25} = 48.6946861306418$$
$$x_{26} = -38.2227106186758$$
$$x_{27} = 64.4026493985908$$
$$x_{28} = 58.1194640914112$$
$$x_{29} = 80.1106126665397$$
$$x_{30} = 9.94837673636768$$
$$x_{31} = 51.8362787842316$$
$$x_{32} = 86.3937979737193$$
$$x_{33} = -80.1106126665397$$
$$x_{34} = 12.0427718387609$$
$$x_{35} = -75.9218224617533$$
$$x_{36} = 14.1371669411541$$
$$x_{37} = 95.8185759344887$$
$$x_{38} = -86.3937979737193$$
$$x_{39} = 7.85398163397448$$
$$x_{40} = -25.6563400043166$$
$$x_{41} = -46.6002910282486$$
$$x_{42} = 49.7418836818384$$
$$x_{43} = -0.523598775598299$$
$$x_{44} = -71.733032256967$$
$$x_{45} = 18.3259571459405$$
$$x_{46} = -31.9395253114962$$
$$x_{47} = -44.5058959258554$$
$$x_{48} = -89.5353906273091$$
$$x_{49} = -95.8185759344887$$
$$x_{50} = 16.2315620435473$$
$$x_{51} = -36.1283155162826$$
$$x_{52} = 53.9306738866248$$
$$x_{53} = 89.5353906273091$$
$$x_{54} = -94.7713783832921$$
$$x_{55} = -42.4115008234622$$
$$x_{56} = -65.4498469497874$$
$$x_{57} = 218.340689424491$$
$$x_{58} = -14.1371669411541$$
$$x_{59} = 87.4409955249159$$
$$x_{60} = -34.0339204138894$$
$$x_{61} = -23.5619449019235$$
$$x_{62} = -21.4675497995303$$
$$x_{63} = -73.8274273593601$$
$$x_{64} = 29.845130209103$$
$$x_{65} = -82.2050077689329$$
$$x_{66} = 72.7802298081635$$
$$x_{67} = 100.007366139275$$
$$x_{68} = -88.4881930761125$$
$$x_{69} = -1.5707963267949$$
$$x_{70} = 60.2138591938044$$
$$x_{71} = 43.4586983746588$$
$$x_{72} = 42.4115008234622$$
$$x_{73} = 62.3082542961976$$
$$x_{74} = 20.4203522483337$$
$$x_{75} = -29.845130209103$$
$$x_{76} = -61.261056745001$$
$$x_{77} = 26.7035375555132$$
$$x_{78} = -7.85398163397448$$
$$x_{79} = 70.6858347057703$$
$$x_{80} = 93.7241808320955$$
$$x_{81} = -50.789081233035$$
$$x_{82} = 22.5147473507269$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -27.7507351067098$$
$$x_{2} = -58.1194640914112$$
$$x_{3} = -40.317105721069$$
$$x_{4} = 5.75958653158129$$
$$x_{5} = 37.1755130674792$$
$$x_{6} = -15.1843644923507$$
$$x_{7} = -17.2787595947439$$
$$x_{8} = 45.553093477052$$
$$x_{9} = -69.6386371545737$$
$$x_{10} = 36.1283155162826$$
$$x_{11} = 73.8274273593601$$
$$x_{12} = -63.3554518473942$$
$$x_{13} = -51.8362787842316$$
$$x_{14} = -78.0162175641465$$
$$x_{15} = 66.497044500984$$
$$x_{16} = -84.2994028713261$$
$$x_{17} = -67.5442420521806$$
$$x_{18} = 1.5707963267949$$
$$x_{19} = -59.1666616426078$$
$$x_{20} = 56.025068989018$$
$$x_{21} = -64.4026493985908$$
$$x_{22} = 28.7979326579064$$
$$x_{23} = -45.553093477052$$
$$x_{24} = 97.9129710368819$$
$$x_{25} = 48.6946861306418$$
$$x_{26} = -38.2227106186758$$
$$x_{27} = 64.4026493985908$$
$$x_{28} = 58.1194640914112$$
$$x_{29} = 80.1106126665397$$
$$x_{30} = 9.94837673636768$$
$$x_{31} = 51.8362787842316$$
$$x_{32} = 86.3937979737193$$
$$x_{33} = -80.1106126665397$$
$$x_{34} = 12.0427718387609$$
$$x_{35} = -75.9218224617533$$
$$x_{36} = 14.1371669411541$$
$$x_{37} = 95.8185759344887$$
$$x_{38} = -86.3937979737193$$
$$x_{39} = 7.85398163397448$$
$$x_{40} = -25.6563400043166$$
$$x_{41} = -46.6002910282486$$
$$x_{42} = 49.7418836818384$$
$$x_{43} = -0.523598775598299$$
$$x_{44} = -71.733032256967$$
$$x_{45} = 18.3259571459405$$
$$x_{46} = -31.9395253114962$$
$$x_{47} = -44.5058959258554$$
$$x_{48} = -89.5353906273091$$
$$x_{49} = -95.8185759344887$$
$$x_{50} = 16.2315620435473$$
$$x_{51} = -36.1283155162826$$
$$x_{52} = 53.9306738866248$$
$$x_{53} = 89.5353906273091$$
$$x_{54} = -94.7713783832921$$
$$x_{55} = -42.4115008234622$$
$$x_{56} = -65.4498469497874$$
$$x_{57} = 218.340689424491$$
$$x_{58} = -14.1371669411541$$
$$x_{59} = 87.4409955249159$$
$$x_{60} = -34.0339204138894$$
$$x_{61} = -23.5619449019235$$
$$x_{62} = -21.4675497995303$$
$$x_{63} = -73.8274273593601$$
$$x_{64} = 29.845130209103$$
$$x_{65} = -82.2050077689329$$
$$x_{66} = 72.7802298081635$$
$$x_{67} = 100.007366139275$$
$$x_{68} = -88.4881930761125$$
$$x_{69} = -1.5707963267949$$
$$x_{70} = 60.2138591938044$$
$$x_{71} = 43.4586983746588$$
$$x_{72} = 42.4115008234622$$
$$x_{73} = 62.3082542961976$$
$$x_{74} = 20.4203522483337$$
$$x_{75} = -29.845130209103$$
$$x_{76} = -61.261056745001$$
$$x_{77} = 26.7035375555132$$
$$x_{78} = -7.85398163397448$$
$$x_{79} = 70.6858347057703$$
$$x_{80} = 93.7241808320955$$
$$x_{81} = -50.789081233035$$
$$x_{82} = 22.5147473507269$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(- \sqrt{33} + 1\right)}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(- \sqrt{33} + 1\right)}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{\sqrt{33} i}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{- \sqrt{33} + 15}} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{- \sqrt{33} + 15}} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{- \sqrt{33} + 15}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)} + \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(- \sqrt{33} + 1\right)}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(- \sqrt{33} + 1\right)}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{\sqrt{33} i}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:
/ _______________ \ / / _______________ \\ / / _______________ \\
| ___ / ____ / ____\| | | ___ / ____ / ____\|| | | ___ / ____ / ____\||
| \/ 2 *\/ - \/ 33 + 15 I*\1 + \/ 33 /| | | \/ 2 *\/ - \/ 33 + 15 I*\1 + \/ 33 /|| | | \/ 2 *\/ - \/ 33 + 15 I*\1 + \/ 33 /||
(-I*log|- ------------------------ - --------------|, cos|I*log|- ------------------------ - --------------|| - sin|2*I*log|- ------------------------ - --------------||)
\ 8 8 / \ \ 8 8 // \ \ 8 8 // / _____________ \ / / _____________ \\ / / _____________ \\
| ___ / ____ / ____ \| | | ___ / ____ / ____ \|| | | ___ / ____ / ____ \||
| \/ 2 *\/ \/ 33 + 15 I*\- \/ 33 + 1/| | | \/ 2 *\/ \/ 33 + 15 I*\- \/ 33 + 1/|| | | \/ 2 *\/ \/ 33 + 15 I*\- \/ 33 + 1/||
(-I*log|- ---------------------- - ----------------|, - sin|2*I*log|- ---------------------- - ----------------|| + cos|I*log|- ---------------------- - ----------------||)
\ 8 8 / \ \ 8 8 // \ \ 8 8 // / _____________ \ / / _____________ \\ / / _____________ \\
| ___ / ____ / ____ \| | | ___ / ____ / ____ \|| | | ___ / ____ / ____ \||
|\/ 2 *\/ \/ 33 + 15 I*\- \/ 33 + 1/| | |\/ 2 *\/ \/ 33 + 15 I*\- \/ 33 + 1/|| | |\/ 2 *\/ \/ 33 + 15 I*\- \/ 33 + 1/||
(-I*log|---------------------- - ----------------|, cos|I*log|---------------------- - ----------------|| - sin|2*I*log|---------------------- - ----------------||)
\ 8 8 / \ \ 8 8 // \ \ 8 8 // / _______________ \ / / _______________ \\ / / _______________ \\
| ___ / ____ ____ | | | ___ / ____ ____ || | | ___ / ____ ____ ||
|\/ 2 *\/ - \/ 33 + 15 \/ 33 *I I| | |\/ 2 *\/ - \/ 33 + 15 \/ 33 *I I|| | |\/ 2 *\/ - \/ 33 + 15 \/ 33 *I I||
(-I*log|------------------------ - -------- - -|, - sin|2*I*log|------------------------ - -------- - -|| + cos|I*log|------------------------ - -------- - -||)
\ 8 8 8/ \ \ 8 8 8// \ \ 8 8 8// Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{- \sqrt{33} + 15}} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{- \sqrt{33} + 15}} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{- \sqrt{33} + 15}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)} + \pi\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (4 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (4 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + sin(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График