Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-32)/x^2
-
sinh(x)
-
2*x-e^x
- sqrt(15+4*sqrt(14))-sqrt(15-4*sqrt(14))
- Производная:
-
(cos(x/3))^3
-
Идентичные выражения
- (cos(x/ три))^ три
- ( косинус от (x делить на 3)) в кубе
- ( косинус от (x делить на три)) в степени три
- (cos(x/3))3
- cosx/33
- (cos(x/3))³
- (cos(x/3)) в степени 3
- cosx/3^3
- (cos(x разделить на 3))^3
График функции y = (cos(x/3))^3
Решение
Вы ввели
[src]
3/x\
f(x) = cos |-|
\3/
$$f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
f = cos(x/3)^3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -89.535089810967$$
$$x_{2} = 70.6861022301621$$
$$x_{3} = 89.5355048191532$$
$$x_{4} = -4.71260065789231$$
$$x_{5} = 70.6857368292198$$
$$x_{6} = 61.2612244813488$$
$$x_{7} = 14.1372335125958$$
$$x_{8} = 14.1371424493035$$
$$x_{9} = 23.5616870543578$$
$$x_{10} = -61.2611653192938$$
$$x_{11} = -80.1108439949582$$
$$x_{12} = -70.6860510248713$$
$$x_{13} = 14.137174893324$$
$$x_{14} = 32.9869403582982$$
$$x_{15} = -98.9603353483912$$
$$x_{16} = 42.4116769900291$$
$$x_{17} = -89.5350982227971$$
$$x_{18} = -14.1371254892715$$
$$x_{19} = 42.411765152686$$
$$x_{20} = -23.5616658105301$$
$$x_{21} = -14.1374163017323$$
$$x_{22} = -98.9599604327052$$
$$x_{23} = -23.5619904019564$$
$$x_{24} = 4.71228573713276$$
$$x_{25} = -4.7122262562643$$
$$x_{26} = -23.5616403105711$$
$$x_{27} = 42.4118091398041$$
$$x_{28} = -80.1109311325392$$
$$x_{29} = -42.4112865912618$$
$$x_{30} = -89.5354420104504$$
$$x_{31} = 61.2608497438052$$
$$x_{32} = -32.9865100191241$$
$$x_{33} = 80.1106034684228$$
$$x_{34} = -32.9868846456215$$
$$x_{35} = 183.783038858406$$
$$x_{36} = 80.1105421191486$$
$$x_{37} = 51.8359791837562$$
$$x_{38} = 51.8363269616032$$
$$x_{39} = -51.8362624533894$$
$$x_{40} = 23.5620969947826$$
$$x_{41} = -61.2607976742372$$
$$x_{42} = -70.6856770284569$$
$$x_{43} = -51.8361633664744$$
$$x_{44} = -80.1109197711023$$
$$x_{45} = 51.8360131941864$$
$$x_{46} = -80.1105782539971$$
$$x_{47} = -89.5353855039147$$
$$x_{48} = -14.1374703186584$$
$$x_{49} = 4.71265229921839$$
$$x_{50} = -42.4113975168705$$
$$x_{51} = 32.9865660876186$$
$$x_{52} = 193.20808849652$$
$$x_{53} = 98.9603906991189$$
$$x_{54} = -42.4117629179991$$
$$x_{55} = 70.6857402895616$$
$$x_{56} = 89.5351370679986$$
$$x_{57} = 42.411461304901$$
$$x_{58} = 98.9600168511633$$
$$x_{59} = -51.8362607135833$$
$$x_{60} = 51.8361234060531$$
$$x_{61} = 23.562053677027$$
$$x_{62} = -14.1374188771334$$
$$x_{63} = -23.561866871813$$
$$x_{64} = 80.1106334617995$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -89.535089810967$$
$$x_{2} = 70.6861022301621$$
$$x_{3} = 89.5355048191532$$
$$x_{4} = -4.71260065789231$$
$$x_{5} = 70.6857368292198$$
$$x_{6} = 61.2612244813488$$
$$x_{7} = 14.1372335125958$$
$$x_{8} = 14.1371424493035$$
$$x_{9} = 23.5616870543578$$
$$x_{10} = -61.2611653192938$$
$$x_{11} = -80.1108439949582$$
$$x_{12} = -70.6860510248713$$
$$x_{13} = 14.137174893324$$
$$x_{14} = 32.9869403582982$$
$$x_{15} = -98.9603353483912$$
$$x_{16} = 42.4116769900291$$
$$x_{17} = -89.5350982227971$$
$$x_{18} = -14.1371254892715$$
$$x_{19} = 42.411765152686$$
$$x_{20} = -23.5616658105301$$
$$x_{21} = -14.1374163017323$$
$$x_{22} = -98.9599604327052$$
$$x_{23} = -23.5619904019564$$
$$x_{24} = 4.71228573713276$$
$$x_{25} = -4.7122262562643$$
$$x_{26} = -23.5616403105711$$
$$x_{27} = 42.4118091398041$$
$$x_{28} = -80.1109311325392$$
$$x_{29} = -42.4112865912618$$
$$x_{30} = -89.5354420104504$$
$$x_{31} = 61.2608497438052$$
$$x_{32} = -32.9865100191241$$
$$x_{33} = 80.1106034684228$$
$$x_{34} = -32.9868846456215$$
$$x_{35} = 183.783038858406$$
$$x_{36} = 80.1105421191486$$
$$x_{37} = 51.8359791837562$$
$$x_{38} = 51.8363269616032$$
$$x_{39} = -51.8362624533894$$
$$x_{40} = 23.5620969947826$$
$$x_{41} = -61.2607976742372$$
$$x_{42} = -70.6856770284569$$
$$x_{43} = -51.8361633664744$$
$$x_{44} = -80.1109197711023$$
$$x_{45} = 51.8360131941864$$
$$x_{46} = -80.1105782539971$$
$$x_{47} = -89.5353855039147$$
$$x_{48} = -14.1374703186584$$
$$x_{49} = 4.71265229921839$$
$$x_{50} = -42.4113975168705$$
$$x_{51} = 32.9865660876186$$
$$x_{52} = 193.20808849652$$
$$x_{53} = 98.9603906991189$$
$$x_{54} = -42.4117629179991$$
$$x_{55} = 70.6857402895616$$
$$x_{56} = 89.5351370679986$$
$$x_{57} = 42.411461304901$$
$$x_{58} = 98.9600168511633$$
$$x_{59} = -51.8362607135833$$
$$x_{60} = 51.8361234060531$$
$$x_{61} = 23.562053677027$$
$$x_{62} = -14.1374188771334$$
$$x_{63} = -23.561866871813$$
$$x_{64} = 80.1106334617995$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = 3 \pi$$
$$x_{4} = \frac{9 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 3 \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = 3 \pi$$
$$x_{4} = \frac{9 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
3*pi (----, 0) 2
(3*pi, -1)
9*pi (----, 0) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 3 \pi\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
$$x_{3} = - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{9 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
$$x_{3} = - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{9 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/3)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
$$\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
$$\cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График