Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
5-4*cos(x)
-
log(8-x^2)
-
tan(4*x)
-
1/4*x^4-2*x^2+4
-
Идентичные выражения
- cos((|x|))
- косинус от (( модуль от x|))
- cos|x|
График функции y = cos((|x|))
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = cos(|x|)
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
f = cos(|x|)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -17.2787595947439$$
$$x_{2} = -14.1371669411541$$
$$x_{3} = -70.6858347057703$$
$$x_{4} = -32.9867228626928$$
$$x_{5} = 95.8185759344887$$
$$x_{6} = 20.4203522483337$$
$$x_{7} = -89.5353906273091$$
$$x_{8} = 23.5619449019235$$
$$x_{9} = -36.1283155162826$$
$$x_{10} = -168.075206967054$$
$$x_{11} = -23.5619449019235$$
$$x_{12} = -58.1194640914112$$
$$x_{13} = -45.553093477052$$
$$x_{14} = -1.5707963267949$$
$$x_{15} = -20.4203522483337$$
$$x_{16} = 7.85398163397448$$
$$x_{17} = 45.553093477052$$
$$x_{18} = 17.2787595947439$$
$$x_{19} = -39.2699081698724$$
$$x_{20} = -54.9778714378214$$
$$x_{21} = 4.71238898038469$$
$$x_{22} = -48.6946861306418$$
$$x_{23} = 61.261056745001$$
$$x_{24} = -92.6769832808989$$
$$x_{25} = -10.9955742875643$$
$$x_{26} = -98.9601685880785$$
$$x_{27} = 64.4026493985908$$
$$x_{28} = -2266.65909956504$$
$$x_{29} = -64.4026493985908$$
$$x_{30} = -7.85398163397448$$
$$x_{31} = 51.8362787842316$$
$$x_{32} = 39.2699081698724$$
$$x_{33} = -73.8274273593601$$
$$x_{34} = 98.9601685880785$$
$$x_{35} = -80.1106126665397$$
$$x_{36} = 76.9690200129499$$
$$x_{37} = 70.6858347057703$$
$$x_{38} = -387.986692718339$$
$$x_{39} = 54.9778714378214$$
$$x_{40} = 58.1194640914112$$
$$x_{41} = 36.1283155162826$$
$$x_{42} = 67.5442420521806$$
$$x_{43} = -42.4115008234622$$
$$x_{44} = 48.6946861306418$$
$$x_{45} = 80.1106126665397$$
$$x_{46} = -95.8185759344887$$
$$x_{47} = 26.7035375555132$$
$$x_{48} = -83.2522053201295$$
$$x_{49} = -4.71238898038469$$
$$x_{50} = 1.5707963267949$$
$$x_{51} = 14.1371669411541$$
$$x_{52} = -51.8362787842316$$
$$x_{53} = 10.9955742875643$$
$$x_{54} = 42.4115008234622$$
$$x_{55} = 83.2522053201295$$
$$x_{56} = 86.3937979737193$$
$$x_{57} = -61.261056745001$$
$$x_{58} = -76.9690200129499$$
$$x_{59} = -29.845130209103$$
$$x_{60} = -86.3937979737193$$
$$x_{61} = 92.6769832808989$$
$$x_{62} = 32.9867228626928$$
$$x_{63} = -67.5442420521806$$
$$x_{64} = 89.5353906273091$$
$$x_{65} = 73.8274273593601$$
$$x_{66} = 29.845130209103$$
$$x_{67} = -26.7035375555132$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -17.2787595947439$$
$$x_{2} = -14.1371669411541$$
$$x_{3} = -70.6858347057703$$
$$x_{4} = -32.9867228626928$$
$$x_{5} = 95.8185759344887$$
$$x_{6} = 20.4203522483337$$
$$x_{7} = -89.5353906273091$$
$$x_{8} = 23.5619449019235$$
$$x_{9} = -36.1283155162826$$
$$x_{10} = -168.075206967054$$
$$x_{11} = -23.5619449019235$$
$$x_{12} = -58.1194640914112$$
$$x_{13} = -45.553093477052$$
$$x_{14} = -1.5707963267949$$
$$x_{15} = -20.4203522483337$$
$$x_{16} = 7.85398163397448$$
$$x_{17} = 45.553093477052$$
$$x_{18} = 17.2787595947439$$
$$x_{19} = -39.2699081698724$$
$$x_{20} = -54.9778714378214$$
$$x_{21} = 4.71238898038469$$
$$x_{22} = -48.6946861306418$$
$$x_{23} = 61.261056745001$$
$$x_{24} = -92.6769832808989$$
$$x_{25} = -10.9955742875643$$
$$x_{26} = -98.9601685880785$$
$$x_{27} = 64.4026493985908$$
$$x_{28} = -2266.65909956504$$
$$x_{29} = -64.4026493985908$$
$$x_{30} = -7.85398163397448$$
$$x_{31} = 51.8362787842316$$
$$x_{32} = 39.2699081698724$$
$$x_{33} = -73.8274273593601$$
$$x_{34} = 98.9601685880785$$
$$x_{35} = -80.1106126665397$$
$$x_{36} = 76.9690200129499$$
$$x_{37} = 70.6858347057703$$
$$x_{38} = -387.986692718339$$
$$x_{39} = 54.9778714378214$$
$$x_{40} = 58.1194640914112$$
$$x_{41} = 36.1283155162826$$
$$x_{42} = 67.5442420521806$$
$$x_{43} = -42.4115008234622$$
$$x_{44} = 48.6946861306418$$
$$x_{45} = 80.1106126665397$$
$$x_{46} = -95.8185759344887$$
$$x_{47} = 26.7035375555132$$
$$x_{48} = -83.2522053201295$$
$$x_{49} = -4.71238898038469$$
$$x_{50} = 1.5707963267949$$
$$x_{51} = 14.1371669411541$$
$$x_{52} = -51.8362787842316$$
$$x_{53} = 10.9955742875643$$
$$x_{54} = 42.4115008234622$$
$$x_{55} = 83.2522053201295$$
$$x_{56} = 86.3937979737193$$
$$x_{57} = -61.261056745001$$
$$x_{58} = -76.9690200129499$$
$$x_{59} = -29.845130209103$$
$$x_{60} = -86.3937979737193$$
$$x_{61} = 92.6769832808989$$
$$x_{62} = 32.9867228626928$$
$$x_{63} = -67.5442420521806$$
$$x_{64} = 89.5353906273091$$
$$x_{65} = 73.8274273593601$$
$$x_{66} = 29.845130209103$$
$$x_{67} = -26.7035375555132$$
Экстремумы функции
Step
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 72.2566310325652$$
$$x_{2} = 100.530964914873$$
$$x_{3} = -65.9734457253857$$
$$x_{4} = 21.9911485751286$$
$$x_{5} = -91.106186954104$$
$$x_{6} = 9.42477796076938$$
$$x_{7} = -40.8407044966673$$
$$x_{8} = 0$$
$$x_{9} = -15.707963267949$$
$$x_{10} = -81.6814089933346$$
$$x_{11} = 97.3893722612836$$
$$x_{12} = 50.2654824574367$$
$$x_{13} = -6.28318530717959$$
$$x_{14} = 81.6814089933346$$
$$x_{15} = -37.6991118430775$$
$$x_{16} = -53.4070751110265$$
$$x_{17} = 28.2743338823081$$
$$x_{18} = -78.5398163397448$$
$$x_{19} = -21.9911485751286$$
$$x_{20} = 84.8230016469244$$
$$x_{21} = -31.4159265358979$$
$$x_{22} = 53.4070751110265$$
$$x_{23} = 37.6991118430775$$
$$x_{24} = 56.5486677646163$$
$$x_{25} = -12.5663706143592$$
$$x_{26} = -100.530964914873$$
$$x_{27} = 31.4159265358979$$
$$x_{28} = -267.035375555132$$
$$x_{29} = 15.707963267949$$
$$x_{30} = 65.9734457253857$$
$$x_{31} = 43.9822971502571$$
$$x_{32} = -97.3893722612836$$
$$x_{33} = -62.8318530717959$$
$$x_{34} = -50.2654824574367$$
$$x_{35} = -59.6902604182061$$
$$x_{36} = 12.5663706143592$$
$$x_{37} = -2642.07942166902$$
$$x_{38} = -87.9645943005142$$
$$x_{39} = -3.14159265358979$$
$$x_{40} = -34.5575191894877$$
$$x_{41} = 34.5575191894877$$
$$x_{42} = 69.1150383789755$$
$$x_{43} = -232.477856365645$$
$$x_{44} = 47.1238898038469$$
$$x_{45} = 78.5398163397448$$
$$x_{46} = 87.9645943005142$$
$$x_{47} = -43.9822971502571$$
$$x_{48} = -94.2477796076938$$
$$x_{49} = 59.6902604182061$$
$$x_{50} = -72.2566310325652$$
$$x_{51} = 94.2477796076938$$
$$x_{52} = -18.8495559215388$$
$$x_{53} = 91.106186954104$$
$$x_{54} = -25.1327412287183$$
$$x_{55} = -75.398223686155$$
$$x_{56} = 6.28318530717959$$
$$x_{57} = 25.1327412287183$$
$$x_{58} = -28.2743338823081$$
$$x_{59} = -84.8230016469244$$
$$x_{60} = 3.14159265358979$$
$$x_{61} = -56.5486677646163$$
$$x_{62} = -113.097335529233$$
$$x_{63} = 75.398223686155$$
$$x_{64} = 18.8495559215388$$
$$x_{65} = -69.1150383789755$$
$$x_{66} = -9.42477796076938$$
$$x_{67} = -47.1238898038469$$
$$x_{68} = 40.8407044966673$$
$$x_{69} = 62.8318530717959$$
Зн. экстремумы в точках:
$$\Bigl(72.2566310325652, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(100.530964914873, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-65.9734457253857, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(21.9911485751286, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-91.106186954104, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(9.42477796076938, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-40.8407044966673, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(0, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-15.707963267949, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-81.6814089933346, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(97.3893722612836, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(50.2654824574367, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-6.28318530717959, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(81.6814089933346, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-37.6991118430775, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-53.4070751110265, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(28.2743338823081, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-78.5398163397448, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-21.9911485751286, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(84.8230016469244, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-31.4159265358979, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(53.4070751110265, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(37.6991118430775, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(56.5486677646163, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-12.5663706143592, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-100.530964914873, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(31.4159265358979, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-267.035375555132, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(15.707963267949, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(65.9734457253857, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(43.9822971502571, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-97.3893722612836, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-62.8318530717959, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-50.2654824574367, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-59.6902604182061, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(12.5663706143592, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-2642.07942166902, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-87.9645943005142, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-3.14159265358979, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-34.5575191894877, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(34.5575191894877, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(69.1150383789755, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-232.477856365645, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(47.1238898038469, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(78.5398163397448, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(87.9645943005142, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-43.9822971502571, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-94.2477796076938, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(59.6902604182061, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-72.2566310325652, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(94.2477796076938, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-18.8495559215388, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(91.106186954104, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-25.1327412287183, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-75.398223686155, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(6.28318530717959, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(25.1327412287183, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-28.2743338823081, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-84.8230016469244, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(3.14159265358979, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-56.5486677646163, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-113.097335529233, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(75.398223686155, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(18.8495559215388, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-69.1150383789755, 1\Bigl)$$
$$\Bigl(-9.42477796076938, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(-47.1238898038469, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(40.8407044966673, -1\Bigl)$$
$$\Bigl(62.8318530717959, 1\Bigl)$$
Step
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 72.2566310325652$$
$$x_{2} = -65.9734457253857$$
$$x_{3} = 21.9911485751286$$
$$x_{4} = -91.106186954104$$
$$x_{5} = 9.42477796076938$$
$$x_{6} = -40.8407044966673$$
$$x_{7} = -15.707963267949$$
$$x_{8} = 97.3893722612836$$
$$x_{9} = -53.4070751110265$$
$$x_{10} = 28.2743338823081$$
$$x_{11} = -78.5398163397448$$
$$x_{12} = -21.9911485751286$$
$$x_{13} = 84.8230016469244$$
$$x_{14} = 53.4070751110265$$
$$x_{15} = -267.035375555132$$
$$x_{16} = 15.707963267949$$
$$x_{17} = 65.9734457253857$$
$$x_{18} = -97.3893722612836$$
$$x_{19} = -59.6902604182061$$
$$x_{20} = -2642.07942166902$$
$$x_{21} = -3.14159265358979$$
$$x_{22} = -34.5575191894877$$
$$x_{23} = 34.5575191894877$$
$$x_{24} = 47.1238898038469$$
$$x_{25} = 78.5398163397448$$
$$x_{26} = 59.6902604182061$$
$$x_{27} = -72.2566310325652$$
$$x_{28} = 91.106186954104$$
$$x_{29} = -28.2743338823081$$
$$x_{30} = -84.8230016469244$$
$$x_{31} = 3.14159265358979$$
$$x_{32} = -9.42477796076938$$
$$x_{33} = -47.1238898038469$$
$$x_{34} = 40.8407044966673$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{34} = 100.530964914873$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{34} = -81.6814089933346$$
$$x_{34} = 50.2654824574367$$
$$x_{34} = -6.28318530717959$$
$$x_{34} = 81.6814089933346$$
$$x_{34} = -37.6991118430775$$
$$x_{34} = -31.4159265358979$$
$$x_{34} = 37.6991118430775$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{34} = -12.5663706143592$$
$$x_{34} = -100.530964914873$$
$$x_{34} = 31.4159265358979$$
$$x_{34} = 43.9822971502571$$
$$x_{34} = -62.8318530717959$$
$$x_{34} = -50.2654824574367$$
$$x_{34} = 12.5663706143592$$
$$x_{34} = -87.9645943005142$$
$$x_{34} = 69.1150383789755$$
$$x_{34} = -232.477856365645$$
$$x_{34} = 87.9645943005142$$
$$x_{34} = -43.9822971502571$$
$$x_{34} = -94.2477796076938$$
$$x_{34} = 94.2477796076938$$
$$x_{34} = -18.8495559215388$$
$$x_{34} = -25.1327412287183$$
$$x_{34} = -75.398223686155$$
$$x_{34} = 6.28318530717959$$
$$x_{34} = 25.1327412287183$$
$$x_{34} = -56.5486677646163$$
$$x_{34} = -113.097335529233$$
$$x_{34} = 75.398223686155$$
$$x_{34} = 18.8495559215388$$
$$x_{34} = -69.1150383789755$$
$$x_{34} = 62.8318530717959$$
Убывает на промежутках:
$$\left[97.3893722612836, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках:
$$\left(-\infty, -2642.07942166902\right]$$
Точки перегибов
Step
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right)) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Step
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График