Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 6*x^2-x^4/9
-
pi/4-x/2
-
sqrt(x)/(x^3-27*x)
-
5*x^3
- Производная:
-
cos(pi*x/4)
-
Идентичные выражения
- cos(pi*x/ четыре)
- косинус от ( число пи умножить на x делить на 4)
- косинус от ( число пи умножить на x делить на четыре)
- cos(pix/4)
- cospix/4
- cos(pi*x разделить на 4)
График функции y = cos(pi*x/4)
Решение
Вы ввели
[src]
/pi*x\
f(x) = cos|----|
\ 4 /
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$$
f = cos(pi*x/4)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 6$$
Численное решение
$$x_{1} = 42$$
$$x_{2} = -30$$
$$x_{3} = 50$$
$$x_{4} = 22$$
$$x_{5} = 102$$
$$x_{6} = -38$$
$$x_{7} = 110$$
$$x_{8} = -14$$
$$x_{9} = 74$$
$$x_{10} = 6$$
$$x_{11} = 18$$
$$x_{12} = 106$$
$$x_{13} = 30$$
$$x_{14} = -86$$
$$x_{15} = 26$$
$$x_{16} = 66$$
$$x_{17} = -90$$
$$x_{18} = -46$$
$$x_{19} = 58$$
$$x_{20} = -66$$
$$x_{21} = 54$$
$$x_{22} = -18$$
$$x_{23} = 14$$
$$x_{24} = 82$$
$$x_{25} = 78$$
$$x_{26} = 2$$
$$x_{27} = 34$$
$$x_{28} = -62$$
$$x_{29} = 46$$
$$x_{30} = -34$$
$$x_{31} = 38$$
$$x_{32} = -42$$
$$x_{33} = 70$$
$$x_{34} = -54$$
$$x_{35} = -74$$
$$x_{36} = 10$$
$$x_{37} = -6$$
$$x_{38} = -98$$
$$x_{39} = -78$$
$$x_{40} = -50$$
$$x_{41} = -2$$
$$x_{42} = -58$$
$$x_{43} = -10$$
$$x_{44} = 98$$
$$x_{45} = -82$$
$$x_{46} = -26$$
$$x_{47} = -70$$
$$x_{48} = 90$$
$$x_{49} = 86$$
$$x_{50} = 62$$
$$x_{51} = -22$$
$$x_{52} = 94$$
$$x_{53} = -94$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 6$$
Численное решение
$$x_{1} = 42$$
$$x_{2} = -30$$
$$x_{3} = 50$$
$$x_{4} = 22$$
$$x_{5} = 102$$
$$x_{6} = -38$$
$$x_{7} = 110$$
$$x_{8} = -14$$
$$x_{9} = 74$$
$$x_{10} = 6$$
$$x_{11} = 18$$
$$x_{12} = 106$$
$$x_{13} = 30$$
$$x_{14} = -86$$
$$x_{15} = 26$$
$$x_{16} = 66$$
$$x_{17} = -90$$
$$x_{18} = -46$$
$$x_{19} = 58$$
$$x_{20} = -66$$
$$x_{21} = 54$$
$$x_{22} = -18$$
$$x_{23} = 14$$
$$x_{24} = 82$$
$$x_{25} = 78$$
$$x_{26} = 2$$
$$x_{27} = 34$$
$$x_{28} = -62$$
$$x_{29} = 46$$
$$x_{30} = -34$$
$$x_{31} = 38$$
$$x_{32} = -42$$
$$x_{33} = 70$$
$$x_{34} = -54$$
$$x_{35} = -74$$
$$x_{36} = 10$$
$$x_{37} = -6$$
$$x_{38} = -98$$
$$x_{39} = -78$$
$$x_{40} = -50$$
$$x_{41} = -2$$
$$x_{42} = -58$$
$$x_{43} = -10$$
$$x_{44} = 98$$
$$x_{45} = -82$$
$$x_{46} = -26$$
$$x_{47} = -70$$
$$x_{48} = 90$$
$$x_{49} = 86$$
$$x_{50} = 62$$
$$x_{51} = -22$$
$$x_{52} = 94$$
$$x_{53} = -94$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
(4, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 4\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\pi^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 6$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2, 6\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\pi^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 6$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2, 6\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(pi*x/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График