Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*x^3+3*x^2-36*x
-
sqrt(1-sin(2*x))
-
cos(pi/(2-x))
- 5/x-4
- Производная:
-
cos(pi/(2-x))
-
Идентичные выражения
- cos(pi/(два -x))
- косинус от ( число пи делить на (2 минус x))
- косинус от ( число пи делить на (два минус x))
- cospi/2-x
- cos(pi разделить на (2-x))
-
Похожие выражения
- cos(pi/(2+x))
График функции y = cos(pi/(2-x))
Решение
Вы ввели
[src]
/ pi \
f(x) = cos|-----|
\2 - x/
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)}$$
f = cos(pi/(2 - x))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)}}{\left(- x + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)}}{\left(- x + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)}}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2421.48327847189$$
$$x_{2} = -7832.8206575933$$
$$x_{3} = -2383.7685054801$$
$$x_{4} = 2857.0361522398$$
$$x_{5} = 6562.39745368646$$
$$x_{6} = -9141.07351655573$$
$$x_{7} = -5434.56807965388$$
$$x_{8} = 3728.55656556972$$
$$x_{9} = -4998.57585593862$$
$$x_{10} = 3074.8755443295$$
$$x_{11} = -3908.74040550788$$
$$x_{12} = -9795.2168363785$$
$$x_{13} = 5036.3327511695$$
$$x_{14} = -10013.2665666667$$
$$x_{15} = 5908.34265924616$$
$$x_{16} = -9577.16804001135$$
$$x_{17} = 8742.74879365927$$
$$x_{18} = -6742.65994267352$$
$$x_{19} = -4562.61203031467$$
$$x_{20} = 5472.32688127597$$
$$x_{21} = 10051.0327602721$$
$$x_{22} = -5870.5823597212$$
$$x_{23} = 8960.79333213496$$
$$x_{24} = -7178.71728118609$$
$$x_{25} = 9614.9339458279$$
$$x_{26} = 8306.66376767566$$
$$x_{27} = 2203.79505915415$$
$$x_{28} = 6344.37561040122$$
$$x_{29} = -6524.63544462699$$
$$x_{30} = 6126.35721793024$$
$$x_{31} = -9359.12024288468$$
$$x_{32} = -4344.64344739395$$
$$x_{33} = 8524.70557092197$$
$$x_{34} = -5652.57278235293$$
$$x_{35} = 4382.39633644888$$
$$x_{36} = -3255.0056190349$$
$$x_{37} = 5254.32677234155$$
$$x_{38} = -5216.56886424101$$
$$x_{39} = -8486.9405883437$$
$$x_{40} = 4600.36644728847$$
$$x_{41} = 10269.0834950414$$
$$x_{42} = -3472.89721302176$$
$$x_{43} = -10885.4737039524$$
$$x_{44} = 3292.74569867703$$
$$x_{45} = 2639.23522503622$$
$$x_{46} = 6780.42241419512$$
$$x_{47} = -4126.68563587176$$
$$x_{48} = -2819.3058066811$$
$$x_{49} = -10449.3685950099$$
$$x_{50} = 4818.34564707535$$
$$x_{51} = 3946.48943650256$$
$$x_{52} = 7870.58489225002$$
$$x_{53} = -11103.5273001593$$
$$x_{54} = 9832.9828908882$$
$$x_{55} = 6998.45020000492$$
$$x_{56} = -10231.3171711293$$
$$x_{57} = -6306.61411253876$$
$$x_{58} = -8050.85899460141$$
$$x_{59} = -8268.89901480149$$
$$x_{60} = -6088.5962870989$$
$$x_{61} = -8704.98359840237$$
$$x_{62} = -7614.78414851866$$
$$x_{63} = 10705.1873490195$$
$$x_{64} = -2601.51168596997$$
$$x_{65} = 7216.48055455131$$
$$x_{66} = 7434.51325143022$$
$$x_{67} = 10487.1350411652$$
$$x_{68} = -8923.02793958268$$
$$x_{69} = 9178.839092469$$
$$x_{70} = -6960.68730875067$$
$$x_{71} = -4780.5899063193$$
$$x_{72} = -3037.13980770151$$
$$x_{73} = 9396.8859895067$$
$$x_{74} = 3510.64084297269$$
$$x_{75} = 4164.43674859374$$
$$x_{76} = -10667.4207880326$$
$$x_{77} = -3690.80999602316$$
$$x_{78} = 5690.33237619656$$
$$x_{79} = 8088.62349887863$$
$$x_{80} = 7652.54809009149$$
$$x_{81} = -7396.74962920908$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)}}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)}}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)}}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2421.48327847189$$
$$x_{2} = -7832.8206575933$$
$$x_{3} = -2383.7685054801$$
$$x_{4} = 2857.0361522398$$
$$x_{5} = 6562.39745368646$$
$$x_{6} = -9141.07351655573$$
$$x_{7} = -5434.56807965388$$
$$x_{8} = 3728.55656556972$$
$$x_{9} = -4998.57585593862$$
$$x_{10} = 3074.8755443295$$
$$x_{11} = -3908.74040550788$$
$$x_{12} = -9795.2168363785$$
$$x_{13} = 5036.3327511695$$
$$x_{14} = -10013.2665666667$$
$$x_{15} = 5908.34265924616$$
$$x_{16} = -9577.16804001135$$
$$x_{17} = 8742.74879365927$$
$$x_{18} = -6742.65994267352$$
$$x_{19} = -4562.61203031467$$
$$x_{20} = 5472.32688127597$$
$$x_{21} = 10051.0327602721$$
$$x_{22} = -5870.5823597212$$
$$x_{23} = 8960.79333213496$$
$$x_{24} = -7178.71728118609$$
$$x_{25} = 9614.9339458279$$
$$x_{26} = 8306.66376767566$$
$$x_{27} = 2203.79505915415$$
$$x_{28} = 6344.37561040122$$
$$x_{29} = -6524.63544462699$$
$$x_{30} = 6126.35721793024$$
$$x_{31} = -9359.12024288468$$
$$x_{32} = -4344.64344739395$$
$$x_{33} = 8524.70557092197$$
$$x_{34} = -5652.57278235293$$
$$x_{35} = 4382.39633644888$$
$$x_{36} = -3255.0056190349$$
$$x_{37} = 5254.32677234155$$
$$x_{38} = -5216.56886424101$$
$$x_{39} = -8486.9405883437$$
$$x_{40} = 4600.36644728847$$
$$x_{41} = 10269.0834950414$$
$$x_{42} = -3472.89721302176$$
$$x_{43} = -10885.4737039524$$
$$x_{44} = 3292.74569867703$$
$$x_{45} = 2639.23522503622$$
$$x_{46} = 6780.42241419512$$
$$x_{47} = -4126.68563587176$$
$$x_{48} = -2819.3058066811$$
$$x_{49} = -10449.3685950099$$
$$x_{50} = 4818.34564707535$$
$$x_{51} = 3946.48943650256$$
$$x_{52} = 7870.58489225002$$
$$x_{53} = -11103.5273001593$$
$$x_{54} = 9832.9828908882$$
$$x_{55} = 6998.45020000492$$
$$x_{56} = -10231.3171711293$$
$$x_{57} = -6306.61411253876$$
$$x_{58} = -8050.85899460141$$
$$x_{59} = -8268.89901480149$$
$$x_{60} = -6088.5962870989$$
$$x_{61} = -8704.98359840237$$
$$x_{62} = -7614.78414851866$$
$$x_{63} = 10705.1873490195$$
$$x_{64} = -2601.51168596997$$
$$x_{65} = 7216.48055455131$$
$$x_{66} = 7434.51325143022$$
$$x_{67} = 10487.1350411652$$
$$x_{68} = -8923.02793958268$$
$$x_{69} = 9178.839092469$$
$$x_{70} = -6960.68730875067$$
$$x_{71} = -4780.5899063193$$
$$x_{72} = -3037.13980770151$$
$$x_{73} = 9396.8859895067$$
$$x_{74} = 3510.64084297269$$
$$x_{75} = 4164.43674859374$$
$$x_{76} = -10667.4207880326$$
$$x_{77} = -3690.80999602316$$
$$x_{78} = 5690.33237619656$$
$$x_{79} = 8088.62349887863$$
$$x_{80} = 7652.54809009149$$
$$x_{81} = -7396.74962920908$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)}}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)}}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(pi/(2 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x + 2} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi}{x + 2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x + 2} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{\pi}{- x + 2} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi}{x + 2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График