Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x^(-5)
-
(3*x^2-10)/(3-2*x)
- 6/(sin(x)^(2)+2*sin(x)+3)
- (x+17)^2
- Производная:
- e^x*(cos(2*x)+2*sin(2*x))
-
Идентичные выражения
- e^x*(cos(два *x)+ два *sin(два *x))
- e в степени x умножить на ( косинус от (2 умножить на x) плюс 2 умножить на синус от (2 умножить на x))
- e в степени x умножить на ( косинус от (два умножить на x) плюс два умножить на синус от (два умножить на x))
- ex*(cos(2*x)+2*sin(2*x))
- ex*cos2*x+2*sin2*x
- e^x(cos(2x)+2sin(2x))
- ex(cos(2x)+2sin(2x))
- excos2x+2sin2x
- e^xcos2x+2sin2x
-
Похожие выражения
- e^x*(cos(2*x)-2*sin(2*x))
График функции y = e^x*(cos(2*x)+2*sin(2*x))
Решение
Вы ввели
[src]
x f(x) = e *(cos(2*x) + 2*sin(2*x))
$$f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
f = (2*sin(2*x) + cos(2*x))*E^x
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.231823804500403$$
$$x_{2} = -14.3689907456545$$
$$x_{3} = -59.9220842227065$$
$$x_{4} = -102.333585046169$$
$$x_{5} = -97.621196065784$$
$$x_{6} = 15.4761394634486$$
$$x_{7} = -45.7849172815524$$
$$x_{8} = -74.0592511638605$$
$$x_{9} = -37.9309356475779$$
$$x_{10} = 4.48056517588429$$
$$x_{11} = -15.9397870724494$$
$$x_{12} = -22.222972379629$$
$$x_{13} = -20.6521760528341$$
$$x_{14} = -83.4840291246299$$
$$x_{15} = 21.7593247706282$$
$$x_{16} = -75.6300474906554$$
$$x_{17} = -8.08580543847489$$
$$x_{18} = -67.776065856681$$
$$x_{19} = 20.1885284438333$$
$$x_{20} = -25.3645650332187$$
$$x_{21} = 12.3345468098588$$
$$x_{22} = -31.6477503403983$$
$$x_{23} = -58.3512878959116$$
$$x_{24} = -9.65660176526978$$
$$x_{25} = -66.2052695298861$$
$$x_{26} = -50.4973062619371$$
$$x_{27} = 28.0425100778077$$
$$x_{28} = 29.6133064046026$$
$$x_{29} = -88.1964181050146$$
$$x_{30} = -17.5105833992443$$
$$x_{31} = -28.5061576868085$$
$$x_{32} = -81.913232797835$$
$$x_{33} = -89.7672144318095$$
$$x_{34} = -36.360139320783$$
$$x_{35} = -94.4796034121942$$
$$x_{36} = -44.2141209547575$$
$$x_{37} = -91.3380107586044$$
$$x_{38} = -30.0769540136034$$
$$x_{39} = -53.6388989155269$$
$$x_{40} = -86.6256217782197$$
$$x_{41} = 1.33897252229449$$
$$x_{42} = -12.7981944188596$$
$$x_{43} = -61.4928805495014$$
$$x_{44} = -69.3468621834758$$
$$x_{45} = 7.62215782947408$$
$$x_{46} = -39.5017319743728$$
$$x_{47} = 23.330121097423$$
$$x_{48} = 26.4717137510128$$
$$x_{49} = 13.9053431366537$$
$$x_{50} = -23.7937687064239$$
$$x_{51} = -64.6344732030912$$
$$x_{52} = -42.6433246279626$$
$$x_{53} = -1.8026201312953$$
$$x_{54} = -47.3557136083473$$
$$x_{55} = -52.068102588732$$
$$x_{56} = 6.05136150267918$$
$$x_{57} = -6.51500911167999$$
$$x_{58} = -72.4884548370656$$
$$x_{59} = -80.3424364710401$$
$$x_{60} = -96.0503997389891$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.231823804500403$$
$$x_{2} = -14.3689907456545$$
$$x_{3} = -59.9220842227065$$
$$x_{4} = -102.333585046169$$
$$x_{5} = -97.621196065784$$
$$x_{6} = 15.4761394634486$$
$$x_{7} = -45.7849172815524$$
$$x_{8} = -74.0592511638605$$
$$x_{9} = -37.9309356475779$$
$$x_{10} = 4.48056517588429$$
$$x_{11} = -15.9397870724494$$
$$x_{12} = -22.222972379629$$
$$x_{13} = -20.6521760528341$$
$$x_{14} = -83.4840291246299$$
$$x_{15} = 21.7593247706282$$
$$x_{16} = -75.6300474906554$$
$$x_{17} = -8.08580543847489$$
$$x_{18} = -67.776065856681$$
$$x_{19} = 20.1885284438333$$
$$x_{20} = -25.3645650332187$$
$$x_{21} = 12.3345468098588$$
$$x_{22} = -31.6477503403983$$
$$x_{23} = -58.3512878959116$$
$$x_{24} = -9.65660176526978$$
$$x_{25} = -66.2052695298861$$
$$x_{26} = -50.4973062619371$$
$$x_{27} = 28.0425100778077$$
$$x_{28} = 29.6133064046026$$
$$x_{29} = -88.1964181050146$$
$$x_{30} = -17.5105833992443$$
$$x_{31} = -28.5061576868085$$
$$x_{32} = -81.913232797835$$
$$x_{33} = -89.7672144318095$$
$$x_{34} = -36.360139320783$$
$$x_{35} = -94.4796034121942$$
$$x_{36} = -44.2141209547575$$
$$x_{37} = -91.3380107586044$$
$$x_{38} = -30.0769540136034$$
$$x_{39} = -53.6388989155269$$
$$x_{40} = -86.6256217782197$$
$$x_{41} = 1.33897252229449$$
$$x_{42} = -12.7981944188596$$
$$x_{43} = -61.4928805495014$$
$$x_{44} = -69.3468621834758$$
$$x_{45} = 7.62215782947408$$
$$x_{46} = -39.5017319743728$$
$$x_{47} = 23.330121097423$$
$$x_{48} = 26.4717137510128$$
$$x_{49} = 13.9053431366537$$
$$x_{50} = -23.7937687064239$$
$$x_{51} = -64.6344732030912$$
$$x_{52} = -42.6433246279626$$
$$x_{53} = -1.8026201312953$$
$$x_{54} = -47.3557136083473$$
$$x_{55} = -52.068102588732$$
$$x_{56} = 6.05136150267918$$
$$x_{57} = -6.51500911167999$$
$$x_{58} = -72.4884548370656$$
$$x_{59} = -80.3424364710401$$
$$x_{60} = -96.0503997389891$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} + \left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} + \left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi
--
pi 4
(--, 2*e )
4 3*pi
----
3*pi 4
(----, -2*e )
4 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \left(10 \sin{\left(2 x \right)} - 5 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \left(10 \sin{\left(2 x \right)} - 5 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^x*(cos(2*x) + 2*sin(2*x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}$$
- Нет
$$\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = - \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}$$
- Нет
$$\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = - \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График