Господин Экзамен

Другие калькуляторы

exp(x)/(exp(x)-1)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • (x^3)+1
  • sqrt(5-x) sqrt(5-x)
  • x^4-37*x^2+36 x^4-37*x^2+36
  • 5*x^3 5*x^3
  • Производная:
  • exp(x)/(exp(x)-1) exp(x)/(exp(x)-1)
  • Интеграл d{x}:
  • exp(x)/(exp(x)-1)

  • Идентичные выражения

  • exp(x)/(exp(x)- один)
  • экспонента от (x) делить на ( экспонента от (x) минус 1)
  • экспонента от (x) делить на ( экспонента от (x) минус один)
  • expx/expx-1
  • exp(x) разделить на (exp(x)-1)

  • Похожие выражения

  • exp(x)/(exp(x)+1)
Построение графика функции/ exp(x)/(exp(x)-1)

График функции y = exp(x)/(exp(x)-1)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
          x  
         e   
f(x) = ------
        x    
       e  - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$$ 
f = exp(x)/(exp(x) - 1*1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(x)/(exp(x) - 1*1).
$$\frac{e^{0}}{\left(-1\right) 1 + e^{0}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(- \frac{\left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} + 1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(x)/(exp(x) - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} = \frac{e^{- x}}{-1 + e^{- x}}$$
- Нет
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} = - \frac{e^{- x}}{-1 + e^{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = exp(x)/(exp(x)-1)
    © Господин Экзамен – Калькулятор