Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- log(x)^(2)
- (|x-5|)
-
x^2*(log(x))
- (x-1)/(sqrt(x))
- Производная:
-
2*x^(5/3)-5*x^(2/3)+1
-
Идентичные выражения
- два *x^(пять / три)- пять *x^(два / три)+ один
- 2 умножить на x в степени (5 делить на 3) минус 5 умножить на x в степени (2 делить на 3) плюс 1
- два умножить на x в степени (пять делить на три) минус пять умножить на x в степени (два делить на три) плюс один
- 2*x(5/3)-5*x(2/3)+1
- 2*x5/3-5*x2/3+1
- 2x^(5/3)-5x^(2/3)+1
- 2x(5/3)-5x(2/3)+1
- 2x5/3-5x2/3+1
- 2x^5/3-5x^2/3+1
- 2*x^(5 разделить на 3)-5*x^(2 разделить на 3)+1
-
Похожие выражения
- 2*x^(5/3)+5*x^(2/3)+1
- 2*x^(5/3)-5*x^(2/3)-1
График функции y = 2*x^(5/3)-5*x^(2/3)+1
Решение
Вы ввели
[src]
5/3 2/3 f(x) = 2*x - 5*x + 1
$$f{\left(x \right)} = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1$$
f = 2*x^(5/3) - 5*x^(2/3) + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{5} - 5 x^{2} + 1, 1\right)}^{3}$$
$$x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{5} - 5 x^{2} + 1, 2\right)}^{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.0947814131526928$$
$$x_{2} = 2.20484414165527$$
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{5} - 5 x^{2} + 1, 1\right)}^{3}$$
$$x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{5} - 5 x^{2} + 1, 2\right)}^{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.0947814131526928$$
$$x_{2} = 2.20484414165527$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{10}{3 \sqrt[3]{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{10}{3 \sqrt[3]{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, -2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{10 \cdot \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{9 \sqrt[3]{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{10 \cdot \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{9 \sqrt[3]{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1\right) = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1\right) = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^(5/3) - 5*x^(2/3) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1}{x}\right) = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1}{x}\right) = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1 = 2 \left(- x\right)^{\frac{5}{3}} - 5 \left(- x\right)^{\frac{2}{3}} + 1$$
- Нет
$$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1 = - 2 \left(- x\right)^{\frac{5}{3}} + 5 \left(- x\right)^{\frac{2}{3}} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1 = 2 \left(- x\right)^{\frac{5}{3}} - 5 \left(- x\right)^{\frac{2}{3}} + 1$$
- Нет
$$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 1 = - 2 \left(- x\right)^{\frac{5}{3}} + 5 \left(- x\right)^{\frac{2}{3}} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График