Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- sqrt(2*x-1)
- 6+27*x-3*x^3
-
Идентичные выражения
- ((два *x^ два)- один)/(x^ четыре)
- ((2 умножить на x в квадрате ) минус 1) делить на (x в степени 4)
- ((два умножить на x в степени два) минус один) делить на (x в степени четыре)
- ((2*x2)-1)/(x4)
- 2*x2-1/x4
- ((2*x²)-1)/(x⁴)
- ((2*x в степени 2)-1)/(x в степени 4)
- ((2x^2)-1)/(x^4)
- ((2x2)-1)/(x4)
- 2x2-1/x4
- 2x^2-1/x^4
- ((2*x^2)-1) разделить на (x^4)
-
Похожие выражения
- ((2*x^2)+1)/(x^4)
- (2*(x^2)-1)/(x^4)
График функции y = ((2*x^2)-1)/(x^4)
Решение
Вы ввели
[src]
2
2*x - 1
f(x) = --------
4
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
f = (2*x^2 - 1*1)/(x^4)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{4 x}{x^{4}} - \frac{4 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{5}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{4 x}{x^{4}} - \frac{4 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{5}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, -1 + 2)
(1, -1 + 2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2 - 1*1)/(x^4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x x^{4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x x^{4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x x^{4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x x^{4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
- Да
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
- Да
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График