Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- sqrt(2*x-1)
- 6+27*x-3*x^3
- Производная:
-
(2*x+1)^5-5*(2*x+1)^3-40*x+37
-
Идентичные выражения
- (два *x+ один)^ пять - пять *(два *x+ один)^ три - сорок *x+ тридцать семь
- (2 умножить на x плюс 1) в степени 5 минус 5 умножить на (2 умножить на x плюс 1) в кубе минус 40 умножить на x плюс 37
- (два умножить на x плюс один) в степени пять минус пять умножить на (два умножить на x плюс один) в степени три минус сорок умножить на x плюс тридцать семь
- (2*x+1)5-5*(2*x+1)3-40*x+37
- 2*x+15-5*2*x+13-40*x+37
- (2*x+1)⁵-5*(2*x+1)³-40*x+37
- (2*x+1) в степени 5-5*(2*x+1) в степени 3-40*x+37
- (2x+1)^5-5(2x+1)^3-40x+37
- (2x+1)5-5(2x+1)3-40x+37
- 2x+15-52x+13-40x+37
- 2x+1^5-52x+1^3-40x+37
-
Похожие выражения
- (2*x-1)^5-5*(2*x+1)^3-40*x+37
- (2*x+1)^5-5*(2*x-1)^3-40*x+37
- (2*x+1)^5-5*(2*x+1)^3+40*x+37
- (2*x+1)^5+5*(2*x+1)^3-40*x+37
- (2*x+1)^5-5*(2*x+1)^3-40*x-37
График функции y = (2*x+1)^5-5*(2*x+1)^3-40*x+37
Решение
Вы ввели
[src]
5 3 f(x) = (2*x + 1) - 5*(2*x + 1) - 40*x + 37
$$f{\left(x \right)} = \left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37$$
f = -40*x + (2*x + 1)^5 - 5*(2*x + 1)^3 + 37
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(32 x^{5} + 80 x^{4} + 40 x^{3} - 20 x^{2} - 60 x + 33, 0\right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.01744494807864$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(32 x^{5} + 80 x^{4} + 40 x^{3} - 20 x^{2} - 60 x + 33, 0\right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.01744494807864$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$10 \left(2 x + 1\right)^{4} - 30 \left(2 x + 1\right)^{2} - 40 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$10 \left(2 x + 1\right)^{4} - 30 \left(2 x + 1\right)^{2} - 40 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3/2, 105)
(1/2, 9)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$40 \left(2 \left(2 x + 1\right)^{3} - 6 x - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$40 \left(2 \left(2 x + 1\right)^{3} - 6 x - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x + 1)^5 - 5*(2*x + 1)^3 - 40*x + 37, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37 = \left(- 2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(- 2 x + 1\right)^{3} + 40 x + 37$$
- Нет
$$\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37 = - \left(- 2 x + 1\right)^{5} + 5 \left(- 2 x + 1\right)^{3} - 40 x - 37$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37 = \left(- 2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(- 2 x + 1\right)^{3} + 40 x + 37$$
- Нет
$$\left(2 x + 1\right)^{5} - 5 \left(2 x + 1\right)^{3} - 40 x + 37 = - \left(- 2 x + 1\right)^{5} + 5 \left(- 2 x + 1\right)^{3} - 40 x - 37$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График