Господин Экзамен

Другие калькуляторы

2*x/(x-1)^2

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • -sqrt(x)
  • 27/4*(x^3-x^2)-4 27/4*(x^3-x^2)-4
  • 1/125*(x^2-5)^3
  • (1/8)*(x^3-12*x)
  • Производная:
  • 2*x/(x-1)^2 2*x/(x-1)^2

  • Идентичные выражения

  • два *x/(x- один)^ два
  • 2 умножить на x делить на (x минус 1) в квадрате
  • два умножить на x делить на (x минус один) в степени два
  • 2*x/(x-1)2
  • 2*x/x-12
  • 2*x/(x-1)²
  • 2*x/(x-1) в степени 2
  • 2x/(x-1)^2
  • 2x/(x-1)2
  • 2x/x-12
  • 2x/x-1^2
  • 2*x разделить на (x-1)^2

  • Похожие выражения

  • 2*x/(x+1)^2
  • (1-2*x)/(x-1)^2
Построение графика функции/ 2*x/(x-1)^2

График функции y = 2*x/(x-1)^2

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
         2*x   
f(x) = --------
              2
       (x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\left(x - 1\right)^{2}}$$ 
f = 2*x/((x - 1*1)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x/((x - 1*1)^2).
$$2 \cdot 0 \cdot \frac{1}{\left(\left(-1\right) 1 + 0\right)^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x \left(- 2 x + 2\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:
        -2     
(-1, ---------)
             2 
     (-1 - 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 \cdot \left(\frac{3 x}{x - 1} - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 \cdot \left(\frac{3 x}{x - 1} - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 \cdot \left(\frac{3 x}{x - 1} - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x/((x - 1*1)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{2 x}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{2 x}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{2 x}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 2*x/(x-1)^2
    © Господин Экзамен – Калькулятор