Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
- Производная:
- 2*log((x-1)/x)+1
-
Идентичные выражения
- два *log((x- один)/x)+ один
- 2 умножить на логарифм от ((x минус 1) делить на x) плюс 1
- два умножить на логарифм от ((x минус один) делить на x) плюс один
- 2log((x-1)/x)+1
- 2logx-1/x+1
- 2*log((x-1) разделить на x)+1
-
Похожие выражения
- 2*log((x-1)/x)-1
- 2*log((x+1)/x)+1
График функции y = 2*log((x-1)/x)+1
Решение
Вы ввели
[src]
/x - 1\
f(x) = 2*log|-----| + 1
\ x /
$$f{\left(x \right)} = 2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1$$
f = 2*log((x - 1*1)/x) + 1
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{e^{\frac{1}{2}}}{- e^{\frac{1}{2}} + 1}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.5414940825368$$
значит надо решить уравнение:
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{e^{\frac{1}{2}}}{- e^{\frac{1}{2}} + 1}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.5414940825368$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{1}{x} - \frac{x - 1}{x^{2}}\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{1}{x} - \frac{x - 1}{x^{2}}\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*log((x - 1*1)/x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} + 1$$
- Нет
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = - 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} + 1$$
- Нет
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = - 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График