Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*x^3+3*x^2-36*x-21
- 16/x+x+3
-
9*x/(9+x^2)
-
x^2-6*x-7
- Производная:
- 9*x/(9+x^2)
-
Идентичные выражения
- девять *x/(девять +x^ два)
- 9 умножить на x делить на (9 плюс x в квадрате )
- девять умножить на x делить на (девять плюс x в степени два)
- 9*x/(9+x2)
- 9*x/9+x2
- 9*x/(9+x²)
- 9*x/(9+x в степени 2)
- 9x/(9+x^2)
- 9x/(9+x2)
- 9x/9+x2
- 9x/9+x^2
- 9*x разделить на (9+x^2)
-
Похожие выражения
- 9*x/(9-x^2)
-
Что Вы имели ввиду?
- 9*x/(9 + x^2)
- 9*x*2/(9 + x)
- 9*x/((9 + x)^2)
- 9*x/9 + x^2
- 9*x/(9 + x^2)
- 9*x*2/(9 + x)
- 9*x/9 + x^2
Вы ввели:
9*x/(9+x^2)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 9*x/(9+x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
9*x
f(x) = ------
2
9 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{9 x}{x^{2} + 9}$$
f = 9*x/(x^2 + 9)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{9 x}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{9 x}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{18 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{9}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Убывает на промежутках
$$\left[-3, 3\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{18 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{9}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, -3/2)
(3, 3/2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Убывает на промежутках
$$\left[-3, 3\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{18 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 3\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 3 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{18 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 3\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 3 \sqrt{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 9*x/(9 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{9 x}{x^{2} + 9} = - \frac{9 x}{x^{2} + 9}$$
- Нет
$$\frac{9 x}{x^{2} + 9} = \frac{9 x}{x^{2} + 9}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{9 x}{x^{2} + 9} = - \frac{9 x}{x^{2} + 9}$$
- Нет
$$\frac{9 x}{x^{2} + 9} = \frac{9 x}{x^{2} + 9}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График