Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
- Производная:
- (4*x^4-4*x^2)/(x-2*x^3+1)
-
Идентичные выражения
- (четыре *x^ четыре - четыре *x^ два)/(x- два *x^ три + один)
- (4 умножить на x в степени 4 минус 4 умножить на x в квадрате ) делить на (x минус 2 умножить на x в кубе плюс 1)
- (четыре умножить на x в степени четыре минус четыре умножить на x в степени два) делить на (x минус два умножить на x в степени три плюс один)
- (4*x4-4*x2)/(x-2*x3+1)
- 4*x4-4*x2/x-2*x3+1
- (4*x⁴-4*x²)/(x-2*x³+1)
- (4*x в степени 4-4*x в степени 2)/(x-2*x в степени 3+1)
- (4x^4-4x^2)/(x-2x^3+1)
- (4x4-4x2)/(x-2x3+1)
- 4x4-4x2/x-2x3+1
- 4x^4-4x^2/x-2x^3+1
- (4*x^4-4*x^2) разделить на (x-2*x^3+1)
-
Похожие выражения
- (4*x^4-4*x^2)/(x-2*x^3-1)
- (4*x^4-4*x^2)/(x+2*x^3+1)
- (4*x^4+4*x^2)/(x-2*x^3+1)
График функции y = (4*x^4-4*x^2)/(x-2*x^3+1)
Решение
Вы ввели
[src]
4 2
4*x - 4*x
f(x) = ------------
3
x - 2*x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}$$
f = (4*x^4 - 4*x^2)/(-2*x^3 + x + 1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(6 x^{2} - 1\right) \left(4 x^{4} - 4 x^{2}\right)}{\left(- 2 x^{3} + x + 1\right)^{2}} + \frac{16 x^{3} - 8 x}{- 2 x^{3} + x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2}{3} - \frac{7}{18 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{7}{18 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2}{3} - \frac{7}{18 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3} - \frac{7}{18 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(6 x^{2} - 1\right) \left(4 x^{4} - 4 x^{2}\right)}{\left(- 2 x^{3} + x + 1\right)^{2}} + \frac{16 x^{3} - 8 x}{- 2 x^{3} + x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2}{3} - \frac{7}{18 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
2 4
/ _____________\ / _____________\
| / ____ | | / ____ |
| 2 7 / 1 \/ 78 | | 2 7 / 1 \/ 78 |
- 4*|- - - --------------------- + 3 / -- + ------ | + 4*|- - - --------------------- + 3 / -- + ------ |
| 3 _____________ \/ 27 36 | | 3 _____________ \/ 27 36 |
| / ____ | | / ____ |
_____________ | / 1 \/ 78 | | / 1 \/ 78 |
/ ____ | 18*3 / -- + ------ | | 18*3 / -- + ------ |
2 7 / 1 \/ 78 \ \/ 27 36 / \ \/ 27 36 /
(- - - --------------------- + 3 / -- + ------, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 _____________ \/ 27 36 3
/ ____ / _____________\ _____________
/ 1 \/ 78 | / ____ | / ____
18*3 / -- + ------ 7 1 | 2 7 / 1 \/ 78 | / 1 \/ 78
\/ 27 36 - --------------------- + - - 2*|- - - --------------------- + 3 / -- + ------ | + 3 / -- + ------
_____________ 3 | 3 _____________ \/ 27 36 | \/ 27 36
/ ____ | / ____ |
/ 1 \/ 78 | / 1 \/ 78 |
18*3 / -- + ------ | 18*3 / -- + ------ |
\/ 27 36 \ \/ 27 36 / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{7}{18 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2}{3} - \frac{7}{18 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3} - \frac{7}{18 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{\sqrt{78}}{36}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{8 \left(\frac{x^{2} \cdot \left(6 x + \frac{\left(6 x^{2} - 1\right)^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) \left(x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} + 6 x^{2} + \frac{2 x \left(2 x^{2} - 1\right) \left(6 x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 \left(\frac{x^{2} \cdot \left(6 x + \frac{\left(6 x^{2} - 1\right)^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) \left(x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} + 6 x^{2} + \frac{2 x \left(2 x^{2} - 1\right) \left(6 x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 \left(\frac{x^{2} \cdot \left(6 x + \frac{\left(6 x^{2} - 1\right)^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) \left(x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} + 6 x^{2} + \frac{2 x \left(2 x^{2} - 1\right) \left(6 x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{8 \left(\frac{x^{2} \cdot \left(6 x + \frac{\left(6 x^{2} - 1\right)^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) \left(x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} + 6 x^{2} + \frac{2 x \left(2 x^{2} - 1\right) \left(6 x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 \left(\frac{x^{2} \cdot \left(6 x + \frac{\left(6 x^{2} - 1\right)^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) \left(x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} + 6 x^{2} + \frac{2 x \left(2 x^{2} - 1\right) \left(6 x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 \left(\frac{x^{2} \cdot \left(6 x + \frac{\left(6 x^{2} - 1\right)^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) \left(x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} + 6 x^{2} + \frac{2 x \left(2 x^{2} - 1\right) \left(6 x^{2} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1} - 1\right)}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^4 - 4*x^2)/(x - 2*x^3 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{x \left(- 2 x^{3} + x + 1\right)}\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{x \left(- 2 x^{3} + x + 1\right)}\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{x \left(- 2 x^{3} + x + 1\right)}\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{x \left(- 2 x^{3} + x + 1\right)}\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - 2 x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1} = \frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{2 x^{3} - x + 1}$$
- Нет
$$\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1} = - \frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{2 x^{3} - x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1} = \frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{2 x^{3} - x + 1}$$
- Нет
$$\frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{- 2 x^{3} + x + 1} = - \frac{4 x^{4} - 4 x^{2}}{2 x^{3} - x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График