Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- sqrt(2*x-1)
- 6+27*x-3*x^3
-
Идентичные выражения
- четыре *sin(два *x)+ четыре *sqrt(три)*cos(два *x)
- 4 умножить на синус от (2 умножить на x) плюс 4 умножить на квадратный корень из (3) умножить на косинус от (2 умножить на x)
- четыре умножить на синус от (два умножить на x) плюс четыре умножить на квадратный корень из (три) умножить на косинус от (два умножить на x)
- 4*sin(2*x)+4*√(3)*cos(2*x)
- 4sin(2x)+4sqrt(3)cos(2x)
- 4sin2x+4sqrt3cos2x
-
Похожие выражения
- 4*sin(2*x)-4*sqrt(3)*cos(2*x)
График функции y = 4*sin(2*x)+4*sqrt(3)*cos(2*x)
Решение
Вы ввели
[src]
___ f(x) = 4*sin(2*x) + 4*\/ 3 *cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}$$
f = 4*sin(2*x) + 4*sqrt(3)*cos(2*x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 84.2994028713261$$
$$x_{2} = -91.6297857297023$$
$$x_{3} = 5.75958653158129$$
$$x_{4} = 85.870199198121$$
$$x_{5} = 76.4454212373516$$
$$x_{6} = -69.6386371545737$$
$$x_{7} = 63.8790506229925$$
$$x_{8} = 82.7286065445312$$
$$x_{9} = -63.3554518473942$$
$$x_{10} = -61.7846555205993$$
$$x_{11} = 16.7551608191456$$
$$x_{12} = -9.94837673636768$$
$$x_{13} = -17.8023583703422$$
$$x_{14} = 26.1799387799149$$
$$x_{15} = 71.733032256967$$
$$x_{16} = -22.5147473507269$$
$$x_{17} = 38.7463093942741$$
$$x_{18} = 60.7374579694027$$
$$x_{19} = 54.4542726622231$$
$$x_{20} = 56.025068989018$$
$$x_{21} = -2.0943951023932$$
$$x_{22} = -38.2227106186758$$
$$x_{23} = 78.0162175641465$$
$$x_{24} = 68.5914396033772$$
$$x_{25} = 32.4631240870945$$
$$x_{26} = -11.5191730631626$$
$$x_{27} = -53.9306738866248$$
$$x_{28} = 4.18879020478639$$
$$x_{29} = -16.2315620435473$$
$$x_{30} = 19.8967534727354$$
$$x_{31} = 40.317105721069$$
$$x_{32} = -55.5014702134197$$
$$x_{33} = -74.3510261349584$$
$$x_{34} = -39.7935069454707$$
$$x_{35} = -97.9129710368819$$
$$x_{36} = 70.162235930172$$
$$x_{37} = 27.7507351067098$$
$$x_{38} = 24.60914245312$$
$$x_{39} = 12.0427718387609$$
$$x_{40} = 35.6047167406843$$
$$x_{41} = -52.3598775598299$$
$$x_{42} = -75.9218224617533$$
$$x_{43} = -66.497044500984$$
$$x_{44} = 101.57816246607$$
$$x_{45} = -83.7758040957278$$
$$x_{46} = -46.0766922526503$$
$$x_{47} = -25.6563400043166$$
$$x_{48} = 13.6135681655558$$
$$x_{49} = 49.7418836818384$$
$$x_{50} = -19.3731546971371$$
$$x_{51} = -0.523598775598299$$
$$x_{52} = 57.5958653158129$$
$$x_{53} = 10.471975511966$$
$$x_{54} = 18.3259571459405$$
$$x_{55} = -31.9395253114962$$
$$x_{56} = -8.37758040957278$$
$$x_{57} = -68.0678408277789$$
$$x_{58} = -44.5058959258554$$
$$x_{59} = 92.1533845053006$$
$$x_{60} = -47.6474885794452$$
$$x_{61} = 90.5825881785057$$
$$x_{62} = -41.3643032722656$$
$$x_{63} = -30.3687289847013$$
$$x_{64} = -3.66519142918809$$
$$x_{65} = 98.4365698124802$$
$$x_{66} = 21.4675497995303$$
$$x_{67} = 79.5870138909414$$
$$x_{68} = -85.3466004225227$$
$$x_{69} = -60.2138591938044$$
$$x_{70} = 34.0339204138894$$
$$x_{71} = 2.61799387799149$$
$$x_{72} = -99.4837673636768$$
$$x_{73} = -82.2050077689329$$
$$x_{74} = -28.7979326579064$$
$$x_{75} = -77.4926187885482$$
$$x_{76} = 100.007366139275$$
$$x_{77} = -88.4881930761125$$
$$x_{78} = -5.23598775598299$$
$$x_{79} = 48.1710873550435$$
$$x_{80} = 62.3082542961976$$
$$x_{81} = -90.0589894029074$$
$$x_{82} = -96.342174710087$$
$$x_{83} = 41.8879020478639$$
$$x_{84} = -405.789051088682$$
$$x_{85} = -24.0855436775217$$
$$x_{86} = 93.7241808320955$$
$$x_{87} = -33.5103216382911$$
$$x_{88} = 46.6002910282486$$
значит надо решить уравнение:
$$4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 84.2994028713261$$
$$x_{2} = -91.6297857297023$$
$$x_{3} = 5.75958653158129$$
$$x_{4} = 85.870199198121$$
$$x_{5} = 76.4454212373516$$
$$x_{6} = -69.6386371545737$$
$$x_{7} = 63.8790506229925$$
$$x_{8} = 82.7286065445312$$
$$x_{9} = -63.3554518473942$$
$$x_{10} = -61.7846555205993$$
$$x_{11} = 16.7551608191456$$
$$x_{12} = -9.94837673636768$$
$$x_{13} = -17.8023583703422$$
$$x_{14} = 26.1799387799149$$
$$x_{15} = 71.733032256967$$
$$x_{16} = -22.5147473507269$$
$$x_{17} = 38.7463093942741$$
$$x_{18} = 60.7374579694027$$
$$x_{19} = 54.4542726622231$$
$$x_{20} = 56.025068989018$$
$$x_{21} = -2.0943951023932$$
$$x_{22} = -38.2227106186758$$
$$x_{23} = 78.0162175641465$$
$$x_{24} = 68.5914396033772$$
$$x_{25} = 32.4631240870945$$
$$x_{26} = -11.5191730631626$$
$$x_{27} = -53.9306738866248$$
$$x_{28} = 4.18879020478639$$
$$x_{29} = -16.2315620435473$$
$$x_{30} = 19.8967534727354$$
$$x_{31} = 40.317105721069$$
$$x_{32} = -55.5014702134197$$
$$x_{33} = -74.3510261349584$$
$$x_{34} = -39.7935069454707$$
$$x_{35} = -97.9129710368819$$
$$x_{36} = 70.162235930172$$
$$x_{37} = 27.7507351067098$$
$$x_{38} = 24.60914245312$$
$$x_{39} = 12.0427718387609$$
$$x_{40} = 35.6047167406843$$
$$x_{41} = -52.3598775598299$$
$$x_{42} = -75.9218224617533$$
$$x_{43} = -66.497044500984$$
$$x_{44} = 101.57816246607$$
$$x_{45} = -83.7758040957278$$
$$x_{46} = -46.0766922526503$$
$$x_{47} = -25.6563400043166$$
$$x_{48} = 13.6135681655558$$
$$x_{49} = 49.7418836818384$$
$$x_{50} = -19.3731546971371$$
$$x_{51} = -0.523598775598299$$
$$x_{52} = 57.5958653158129$$
$$x_{53} = 10.471975511966$$
$$x_{54} = 18.3259571459405$$
$$x_{55} = -31.9395253114962$$
$$x_{56} = -8.37758040957278$$
$$x_{57} = -68.0678408277789$$
$$x_{58} = -44.5058959258554$$
$$x_{59} = 92.1533845053006$$
$$x_{60} = -47.6474885794452$$
$$x_{61} = 90.5825881785057$$
$$x_{62} = -41.3643032722656$$
$$x_{63} = -30.3687289847013$$
$$x_{64} = -3.66519142918809$$
$$x_{65} = 98.4365698124802$$
$$x_{66} = 21.4675497995303$$
$$x_{67} = 79.5870138909414$$
$$x_{68} = -85.3466004225227$$
$$x_{69} = -60.2138591938044$$
$$x_{70} = 34.0339204138894$$
$$x_{71} = 2.61799387799149$$
$$x_{72} = -99.4837673636768$$
$$x_{73} = -82.2050077689329$$
$$x_{74} = -28.7979326579064$$
$$x_{75} = -77.4926187885482$$
$$x_{76} = 100.007366139275$$
$$x_{77} = -88.4881930761125$$
$$x_{78} = -5.23598775598299$$
$$x_{79} = 48.1710873550435$$
$$x_{80} = 62.3082542961976$$
$$x_{81} = -90.0589894029074$$
$$x_{82} = -96.342174710087$$
$$x_{83} = 41.8879020478639$$
$$x_{84} = -405.789051088682$$
$$x_{85} = -24.0855436775217$$
$$x_{86} = 93.7241808320955$$
$$x_{87} = -33.5103216382911$$
$$x_{88} = 46.6002910282486$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 8 \sqrt{3} \sin{\left(2 x \right)} + 8 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{12}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{12}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 8 \sqrt{3} \sin{\left(2 x \right)} + 8 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi (--, 8) 12
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{12}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{12}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 16 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 16 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle - 4, \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle + 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle - 4, \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle + 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle - 4, \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle + 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle - 4, \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle + 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle - 4, \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle + 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle - 4, \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle + 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle - 4, \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle + 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle - 4, \sqrt{3} \left\langle -4, 4\right\rangle + 4\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*sin(2*x) + 4*sqrt(3)*cos(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)} = - 4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
$$4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)} = 4 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)} = - 4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
$$4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)} = 4 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sqrt{3} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График