Господин Экзамен

Другие калькуляторы

4/(x^2-1)
Построение графика функции/ 4/(x^2-1)

График функции y = 4/(x^2-1)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
         4   
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
f(x)=4x2−1f{\left(x \right)} = \frac{4}{x^{2} - 1} 
f = 4/(x^2 - 1*1)
График функции
02468-8-6-4-2-1010-100100
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
4x2−1=0\frac{4}{x^{2} - 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4/(x^2 - 1*1).
4(−1)1+02\frac{4}{\left(-1\right) 1 + 0^{2}}
Результат:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Точка:
(0, -4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
−8x(x2−1)2=0- \frac{8 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, -4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Возрастает на промежутках
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
8⋅(4x2x2−1−1)(x2−1)2=0\frac{8 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(4x2−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{x^{2} - 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(4x2−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x^{2} - 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4/(x^2 - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(4x(x2−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(4x(x2−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
4x2−1=4x2−1\frac{4}{x^{2} - 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}
- Да
4x2−1=−4x2−1\frac{4}{x^{2} - 1} = - \frac{4}{x^{2} - 1}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = 4/(x^2-1)
    © Господин Экзамен – Калькулятор