Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
e^(x+(1/x))
-
x^3/(x^2-25)
-
11+48*x-x^3
- x^3-9*x^2+24*x+6
- Производная:
-
4/x-1/x^2-1
-
Идентичные выражения
- четыре /x- один /x^ два - один
- 4 делить на x минус 1 делить на x в квадрате минус 1
- четыре делить на x минус один делить на x в степени два минус один
- 4/x-1/x2-1
- 4/x-1/x²-1
- 4/x-1/x в степени 2-1
- 4 разделить на x-1 разделить на x^2-1
-
Похожие выражения
- 4/x+1/x^2-1
- 4/x-1/x^2+1
- (4/x)-(1/x^2)-1
График функции y = 4/x-1/x^2-1
Решение
Вы ввели
[src]
4 1
f(x) = - - 1*-- - 1
x 2
x
$$f{\left(x \right)} = \left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}$$
f = -1*1 - 1/(x^2) + 4/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 2$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.267949192431123$$
$$x_{2} = 3.73205080756888$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 2$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.267949192431123$$
$$x_{2} = 3.73205080756888$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(1/2, -1 + 4)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(4 - \frac{3}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(4 - \frac{3}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(4 - \frac{3}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(4 - \frac{3}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(4 - \frac{3}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(4 - \frac{3}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3}{4}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4/x - 1/(x^2) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} = -1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x}$$
- Нет
$$\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} = 1 + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} = -1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x}$$
- Нет
$$\left(-1\right) 1 - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} = 1 + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График