Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- 3*x-(x^3)/9
- sqrt(2*x-1)
-
Идентичные выражения
- atan(три ^x- один)
- арктангенс от (3 в степени x минус 1)
- арктангенс от (три в степени x минус один)
- atan(3x-1)
- atan3x-1
- atan3^x-1
-
Похожие выражения
- atan(3^x+1)
- arctan(3^x-1)
График функции y = atan(3^x-1)
Решение
Вы ввели
[src]
/ x \ f(x) = atan\3 - 1/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
f = atan(3^x - 1*1)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{x} - 1\right)^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{x} - 1\right)^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{3^{x} \left(- \frac{2 \cdot 3^{x} \left(3^{x} - 1\right)}{\left(3^{x} - 1\right)^{2} + 1} + 1\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{\left(3^{x} - 1\right)^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{3^{x} \left(- \frac{2 \cdot 3^{x} \left(3^{x} - 1\right)}{\left(3^{x} - 1\right)^{2} + 1} + 1\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{\left(3^{x} - 1\right)^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(3^x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)}}{x}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(1 - 3^{- x} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 - 3^{- x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(1 - 3^{- x} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(3^{x} - 1 \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 - 3^{- x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График